Тема 2.1. Определенный интеграл
Пусть на отрезке [a,b] задана функция , и отрезок разбит на n элементарных отрезков точками x0, x1, …, xn: a= x0 < x1 <…< xn=b, Dx=xi-x i-1/ Определенным интегралом от функции не отрезке [a,b] называется предел интегральной функции при Dx®0, а функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b].
Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b – его верхним пределом. Геометрический смысл определенного интеграла заключается в следующем. Если функция неотрицательна на отрезке [a,b], где a<b, то численно равен площади под кривой на [a,b]. Для нахождения определенного интеграла пользуются формулой Ньютона-Лейбница: , (1) где F(a) и F(b) первообразные для f(x) в точках a и b. Первообразной функцией для функции на промежутке Х называется функция F(x), если в каждой точке x этого промежутка . Однако применение формулы Ньютона-Лейбница на практике связано с трудностями, поэтому используют численные методы, позволяющие найти приближенное значение искомого интеграла. Рассмотрим два метода: - метод прямоугольников – как суммы элементарных прямоугольников - (2) Суть метода прямоугольников в том, что на каждом из участков разбиения [xi-1, xi] участок кривой заменяется отрезком прямой, параллельным оси абсцисс. Тогда определенный интеграл приближенно равен сумме площадей прямоугольников на каждом участке разбиения. - метод трапеций – как суммы элементарных трапеций - (3) метод трапеций является более точным, т.к. каждый участок кривой заменяется не прямыми, а хордами, стягивающими концевые точки. Тогда каждое слагаемой интегральной суммы будет равно площади трапеции с основаниями f(xi) и f(xi-1) и высотой Dх. Пример. Методом прямоугольника и методом трапеции найти с шагом Dх=0,1. Заметом, что этот интеграл легко вычислить аналитически: Решение1 . На листе Excel составляем таблицу данных. Заполняем значение аргумента (в ячейки А1:А32) и значение функции ( ) (в ячейки В1:В32) (см. Декартова система координат, Пример 1). Введем слово интеграл в ячейку А33 и в соседней ячейке формулы =0,1*, затем вызываем Мастер функций и в категории Математические выбираем функцию СУММ. Нажимаем ОК. В диалоговое окно Мастера функции вводим диапазон суммирования – значения функции (В2:В32). В ячейке В33 появляется приближенное значение интеграла (9,455). Ошибка в методе прямоугольников составила 0,455. Решение 2. Используем метод трапеции. Для этого в ячейку А34 введем слово интеграл 2. В соседнюю ячейку вводим формулу =0,1*((В2+В32)/2+ ) затем вызываем функцию СУММ. Нажимаем ОК. В диалоговое окно Мастера функции вводим диапазон суммирования – значения функции (В3:В31). В ячейке В34 появляется значение =9,005. В данном случае ошибка метода составляет 0,005, что вполне приемлемо.
Упражнения. Найти при помощи метода прямоугольника и трапеции определенные интегралы:
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (378)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |