П. 6. Понятие о ранге матрицы
Матрица имеет много миноров, причем некоторые из них могут равняться нулю, а другие быть отличными от нуля. Замечание. Миноры существуют и для прямоугольных матриц. Они получаются путем вычеркивания нескольких строк и столбцов, лишь бы количество оставшихся строк равнялось количеству оставшихся столбцов, при этом порядок минора матрицы размера не превосходит меньшего из чисел m и n. Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ― угловым или ведущим главным. Определение 18. Наивысший из порядков миноров матрицы А, отличных от нуля, называется рангом матрицы А. Обозначение: rang A или r A. Примеры.Найти ранг матрицы. 1. . Решение. Найдем миноры 2-го порядка: , , . Все определители второго порядка равны 0. Найдем миноры первого порядка: М2,23= 2 ≠ 0, следовательно, rang В = 1. 2. . Решение. Так как матрица квадратная, то минором наивысшего порядка является определитель матрицы. Найдем его: , следовательно, меньшие по порядку миноры можно не искать, наивысший (третий) найден, т.е. rang С = 3. 3. . Решение. Так как матрица квадратная, то минором наивысшего порядка является определитель матрицы. Найдем его: , следовательно, надо найти меньшие по порядку миноры. , минор второго порядка отличен от нуля, следовательно, rang D = 2. Определение 19. Строки матрицы А называются линейно зависимыми, если какая-либо из них линейно выражается через остальные. В противном случае – строки линейно независимы. (аналогично столбцы). Пример. . Найти количество линейно независимых строк и столбцов. Решение.Обозначим строки: Е1 = (2 3 1), Е2 = (–1 0 1), Е3 = (1 3 2). Видно, что Е3 = Е1 + Е2, следовательно, Е1, Е2, Е3 – линейно зависимы. Е2 ≠ k Е1, следовательно, Е1 , Е2 – линейно независимы. Вывод: матрица имеет две линейно независимых строки. Обозначим столбцы: F1, F2, F3. Видно, что F2 = F1 + F3, следовательно, F1, F2, F3 – линейно зависимы. F1 ≠ k F2, следовательно, F1, F2 – линейно независимы. Вывод: матрица имеет два линейно независимых столбца.
Можно доказать, что для любой матрицы максимальное число линейно независимых строк и максимальное число линейно независимых столбцов совпадают. Определение 20.Ранг матрицы равен максимально возможному числу ее линейно независимых строк (столбцов). Т.е. rang H = 2. Проверим первым способом. , , т.е. rang H = 2. Замечание.Ранг квадратной матрицы не превосходит ее порядок. Ранг равен порядку в том и только в том случае, если матрица невырожденная. Ранг матрицы размера не превосходит меньшего из чисел m и n. Не изменяют ранга элементарные преобразования над матрицами: 1. перестановка строк (столбцов), 2. умножение строки (столбца) на число, не равное нулю, 3. прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число, 4. отбрасывание нулевых строк (столбцов), 5. транспонирование.
Если удастся путем элементарных преобразований привести матрицу к трапециевидной форме, то ееранг будет равен числу ее ненулевых строк!
При приведении матрицы к трапециевидной форме удобно пользоваться численным методом Гаусса: 1) переставляя строки, добиваемся, чтобы и , последнее можно достичь (если в первом столбце нет единиц) путем деления всей строки на . Первую строку называют рабочей, а элемент – ведущим. 2) умножаем первую строку на числа ( ), где , прибавляем ее соответственно ко второй и т.д. m-ой строке, получаем в 1-ом столбце под нули. 3) не трогая первой строки, добиваемся, чтобы и путем деления всей строки на или путем перестановки строк. Теперь вторая строка стала рабочей, а элемент – ведущим. 4) умножаем вторую строку на числа ( ), где , прибавляем ее соответственно к третей и т.д. m-ой строке, получаем во 2-ом столбце под нули. 5) и т.д.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (274)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |