Расчет статически неопределимой арки

Задание. Для двухшарнирной арки или арки с затяжкой (рис. 29) с выбранными по шифру из табл. 9 размерами и нагрузкой требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил.

Методические указания

Решению задачи должно предшествовать изучение темы 9.

При вычерчивании оси арки необходимо руководствоваться ука­заниями к задаче 2 (см. с. 36). В целях сокращения объема вы­числительной работы можно ограничиться рассмотрением лишь шести точек оси арки, включая сюда и два опорных шарнира.

Особенностью расчета арок методом сил является невозможность применения способа Верещагина для определения единичных и гру­зовых перемещений, входящих в канонические уравнения. Прямое интегрирование формулы Мора, как правило, оказывается невоз­можным из-за сложности закона изменения сечения арки по длине. Таким образом интегрирование приходится заменять суммировани­ем по участкам со средними значениями величин, входящих в фор­мулу Мора:

Наиболее удачной основной системой для двухшарнирной арки следует считать кривой брус, приняв за неизвестное горизонтальную реакцию в одной из опор (распор); для арки с затяжкой за неизве­стное обычно принимают усилие в затяжке.

Подсчет коэффициентов и свободных членов удобнее проводить в табличной форме, построив предварительно эпюры М_Р и Q₀ в ос­новной системе. При указанных основных системах такими эпюрами будут эпюры М и Q для балки на двух опорах.

Форму сечения арки следует принять прямоугольной с высотой, меняющейся по закону

d = d_c cos ,

где d_с — высота сечения посредине.

В первую очередь вычисляются ординаты исследуемых точек оси арки и угловые характеристики касательных в данных точках. В зависимости от заданного очертания (парабола или окружность) рекомендуется следующая форма таблиц:

а) при очертании оси по параболе

б) при очертании оси по окружности

Рис. 30

Методические указания

Решению задачи должно предшествовать изучение темы 8. При расчете фермы методом сил следует иметь в виду, что при узловом приложении нагрузки в стержнях фермы возникают лишь нормаль­ные усилия, в связи с чем из общей формулы Мора учитывается только член, включающий силы N. Так как усилия, площади попе­речных сечений и модули упругости по длине стержня не меняются, то интегрирование сводится к суммированию:

Основную систему удобнее выбрать симметричной — это значи­тельно сократит объем вычислительной работы. Если за неизвестное принято усилие в стержне, то этот стержень не выбрасывается и поэтому усилие в нем должно учитываться в расчете.

При использовании симметрии можно в расчет включать только половину фермы, однако здесь следует помнить о тех стержнях, ко­торые не имеют парного во второй половине; очевидно, длину таких стержней надо будет уменьшать вдвое.

в соответствии с общим порядком статически неопределимых систем методом сил первую очередь надо определить усилия во всех стержнях основной системы единичной силы (неизвестного) и нагрузки. Дальнейший расчёт удобно свести в таблицу:

Здесь за величину F₀ удобно принять F. Растягивающие усилия в стержнях должны иметь знак плюс, а сжимающие — минус.

Сумма величин, подсчитанных в графе 7, дает значение коэффи­циента канонического уравнения EF₀δ₁,₁,u а в графе 8 — значение

свободного члена EF₀∆₁,_P.

После подсчета этих величин следует определить значение неиз­вестного

^р

и затем заполнить последующие графы (9—11). При проверке мож­но допустить ошибку не более 1—2%.

11. Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений

Задание. Для заданной статически неопределимой рамы (рис. 31) с выбранными по шифру из табл. 11 размерами и нагруз­кой требуется построить эпюры изгибающих моментов, поперечных

и продольных сил.

Рис. 31

Таблица 11

Методические указания

Решению задачи должно предшествовать изучение темы 10.

При выборе основной системы метода перемещений необходимо учитывать, что линейные связи должны быть поставлены не только по направлению возможных линейных перемещений, но и для устра­нения мгновенной изменяемости системы, образованной после поста­новки шарниров во все узлы (включая опорные).

При построении единичных и грузовых эпюр моментов использу­ются таблицы реакций, имеющиеся в учебниках.

Прежде чем приступать к подсчету коэффициентов канониче­ских уравнений, необходимо значения ординат на всех единичных эпюрах выразить через какую-либо одну жесткость (Е1₁ или Е1₂). Удобно также перейти к погонным жесткостям стержней (i= Е1:l). При определении коэффициентов следует внимательно следить за их знаками, а также использовать теорему о взаимности реакций. Решением системы канонических уравнений необходимо прове­рить.

После определения значений неизвестных рекомендуется постро­ить эпюры моментов (MiZi). Суммирование этих эпюр между собой и с грузовой эпюрой дает окончательную эпюру моментов. Сумми­рование рекомендуется производить по характерным точкам и в пояснениях обязательно приводить все расчеты.

Эпюры поперечных и продольных сил строятся по эпюре момен­тов так же, как и в задаче 7.

Проверку полученных эпюр надо проводить как статическую (равновесие узлов и рамы в целом), так и кинематическую. Для последней проверки необходимо выбрать основную систему метода сил и построить хотя бы одну единичную эпюру, которую следует «умножить» на окончательную эпюру моментов по правилу Вереща­гина.

Рис. 32