Производная сложной функции
Если и – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции вычисляется по формуле . (8)
Обобщенная таблица производных: 1) ,где , в частности а) , б) ; 2) где , в частности ; 3) где , в частности ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) . Если для функции существует обратная функция , которая имеет производную , то верна формула . (9) Пример 1:Найти производную функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) Решение. 1.Функцию необходимо рассматривать как сложную функцию, где и -- дифференцируемые функции своих аргументов. Тогда согласно формуле (8) и соответствующим формулам таблицы производных, получим: 2. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов: Вычисляем производную, используя правило дифференцирования суммы функций, формулу (8) и обобщенную таблицу производных: 3.Рассмотрим функцию как , где – также сложная функция. Применив формулу (8) дифференцирования сложной функции, обобщенную таблицу производных, а также правило дифференцирования частного двух функций, получим:
4.Пусть , тогда . Согласно формуле (8), получаем: 5.Рассмотрим функцию как , где . Функцию можно представить в виде , где . Тогда: 6.Перед тем как дифференцировать функцию, преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма: Продифференцируем полученное выражение по формулам (3), (4), (5), (8) и соответствующим формулам таблицы производных: Применив далее формулы тригонометрии, окончательно получим: Пример 2. Вычислить , если . Решение Это сложная функция с промежуточным аргументом Дифференцируем её по формуле (8). При этом пользуемся первой формулой обобщенной таблицы производных при условии . . Вычислим значение производной при : Пример 3.Вычислить , если Решение Преобразуем функцию, используя свойства логарифмов: . Теперь продифференцируем выражение по формулам (3), (5), (8) и соответствующим формулам таблицы производных. Функцию рассмотрим как , где .
Теперь вычислим и Тогда
Задания для самостоятельного решения
I уровень 1.1. Найдите производную функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) . 1.2. Найдите производную функции при данном значении аргумента: 1) ; 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 1.3. Решите неравенство , где и .
II уровень 2.1. Вычислите , если 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ;9) ; 10) 11) 12) 13) 14) . 2.2. Вычислите производную функции при заданном значении аргумента: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 2.3. Вычислите значение производной , предварительно упростив выражение: 1) 2) 3) 2.4. Вычислите производную функции, предварительно упростив выражение: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 2.4. Известно, что и . Найдите значение выражения где . 2.5. Найдите производную функции если . 2.6. Найдите производную функции если . 2.7. Докажите тождество: а) если ; б) если .
Ш уровень
3.1. Найдите производную функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.2. Найти производную функции, предварительно преобразовав выражение по тригонометрическим формулам: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 6) . 3.3. Дана функция Определите, чему равно значение выражения . 3.4. Даны функции и . Найдите количество значений на отрезке , для которых выполняется равенство .
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (701)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |