Типы уравнений и способы их решения
Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной (число). I тип: (8) где c Î R. ОДЗ: На указанной ОДЗ уравнение (8) решается по определению логарифма: . II тип: (9) ОДЗ: На основании равенства логарифмов, уравнение (9) сводится к равносильному ему (на указанной ОДЗ) уравнению: . (10) ОДЗ: Данное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений: III тип:уравнения, решаемые заменой переменной , (11) где F – некоторое выражение относительно . Необходимо определить ОДЗ уравнения, учитывая все условия существования логарифма и выражения F. Далее заменяют и решают уравнение . Если – корни последнего уравнения, то, после возвращения к старой переменной, необходимо решить совокупность Полученные корни проверяют по ОДЗ. Замечание. Если вместо какого-либо выражения f(x), g(x), h(x) уравнения (8) – (11) содержат число, то соответствующее условие не записывают в ОДЗ. Пример 1. Решить уравнение . Решение. Находим ОДЗ: Решение системы: Преобразуем уравнение к виду . Получили уравнение I типа, которое решается по определению логарифма: , , откуда . Из полученных значений корень не подходит по ОДЗ. Получаем ответ: . Пример 2. Решить уравнение . Решение. Записываем условия, определяющие ОДЗ: Заданное уравнение относится к I типу. Получаем , . Снова используем определение логарифма , т.е. откуда . Полученные корни проверяем подстановкой в условия, определяющие ОДЗ уравнения. Убеждаемся, что корень подходит, а корень не подходит по ОДЗ. Получаем ответ: . Пример 3. Решить уравнение . Решение. Записываем условия, определяющие ОДЗ: Данное уравнение относится ко II типу, т.е. решается по свойству равенства логарифмов. Получаем т.е. . Раскладываем левую часть на множители: , откуда получаем Подставляем найденные значения в ОДЗ, находим, что уравнение имеет только один корень . В ответе имеем: . Пример 4. Решить уравнение . Решение. Находим ОДЗ: т.е. . Данное уравнение относится ко II типу. Решаем совокупность: По ОДЗ подходит только корень , т.к. . Получаем ответ: . Пример 5. Решить уравнение . Решение. ОДЗ: . Преобразуем уравнение: Имеем квадратное уравнение относительно (уравнение III типа). Заменяем : . Решая полученное квадратное уравнение, находим корни . Возвращаемся к переменной x: Оба корня подходят по ОДЗ, получаем ответ: . Пример 6.Решить уравнение . Решение. Запишем условия ОДЗ: Воспользуемся тем, что . Тогда Решаем полученное уравнение как уравнение I типа: Среди целых делителей свободного члена находим корень . Он подходит по ОДЗ. Пришли к ответу: . Пример 7. Решить уравнение . Решение. ОДЗ: , т.е. . Воспользуемся свойствами модуля: , если , и . Тогда уравнение перепишется в виде Заменяем и приходим к квадратному уравнению , корнями которого являются числа . Возвращаемся к старой переменной:
Раскрываем модуль, используя ОДЗ: Получаем ответ: Пример 8. Решить уравнение . Решение. ОДЗ: , т.е. . Рассмотрим левую часть уравнения: Преобразуем правую часть. Получим . Используя функциональный метод решения, заключаем, что решением исходного уравнения является решение системы т.е. . Получаем ответ: . Пример 9. Найти сумму корней уравнения . Решение. Для данного уравнения характерно следующее: если корень уравнения, то и тоже корень уравнения. Поэтому если уравнение имеет корни, то их сумма будет равна нулю. Подстановкой находим корни . Получаем ответ: 0.
Задания
I уровень 1.1. Решите уравнение: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9. ; 10) .
II уровень 2.1. Решите уравнение: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 19) ; 20) ; 21) . III уровень 3.1. Решите уравнение: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1045)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |