Задание и методические указания к решению задачи №2 по диагностике (к курсовой работе)

1. Теоретическая часть

Метод Байеса является одним из наиболее простых и мощных методов. Этот метод основан на вычислении условной вероятности появления такого события как диагноз D_i при появлении конкретной реализации комплекса признаков К* . Рассмотрим первоначально основные положения этого метода на простейшем случае, когда имеется диагноз D_i и один бинарный признак К_j, встречающийся при появлении этого диагноза. Определим некоторые понятия

1. P(D_i) - априорная (до опытная) вероятность появления диагноза D_i . Эту вероятность определяют по статистическим данным на начальном этапе применения метода исходя из следующих соображений. Если при обследовании N объектов диагноза установлено, что из них N_i имеют диагноз D_i, то вероятность появления этого диагноза определяется соотношением

2. Р(К_j/D_i) - априорная условная вероятность появления признака К_j у объектов имеющих техническое состояние (диагноз) D_i. Эта вероятность так же определяется на начальном этапе по имеющимся статистическим данным. Если из N обследованных объектов N_i находилось в диагнозе D_i, а из них N_ij объектов имели признак Kj, то условная вероятность появления признака К_j у объектов с диагнозом D_i вычисляется следующим образом

3. P(K_j) - априорная вероятность появления признака K_j у всех объектов независимо от их состояния. То есть, если из N объектов независимо от их технического состояния у N_j был обнаружен признак K_j, то эта вероятность определяется следующим соотношением

Напомним некоторые положения теории вероятностей. Пусть мы имеем два события А и В. Известны вероятности появления этих событий Р(А) и Р(В), а также условная вероятность появления события А при уже состоявшемся событии В Р(А/В) и условная вероятность появления события В при уже состоявшемся событии А Р(В/А). Тогда вероятность одновременного появления событий А и В Р(А,В) определяется следующей формулой

Р(А,В) = Р(А) Р(В/А) = Р(В) Р(А/В).

Воспользовавшись этой формулой и данными выше понятиями можно записать вероятность одновременного появления диагноза D_i и признака K_j следующим образом

P(D_i,K_j)=P(D_i) P(Kj/Di)=P(K_j) P(Di/Kj).

В этом выражении величина P(D_i/К_j) - это условная вероятность существования диагноза D_i при обнаружении признака K_j, то есть это та величина, которая ищется при вероятностном подходе к решению задачи распознавания диагнозов. После соответствующих преобразований из последнего выражения получим формулу Байеса

P(Di/Kj)={P(D_i) P(Kj/Di)}/ P(K_j). (1)

Формула (1) получена для случая, когда при постановке диагноза используется один простой признак.

Для принятия решения о диагнозе при использовании набора (комплекса) признаков применяется обобщенная формула Байеса, которую можно получить из следующих соображений. Если диагностирование проводится по комплексу признаков, то в результате обследования мы получаем конкретную реализацию каждого j-того признака K_j* и, следовательно, конкретную реализацию комплекса признаков К* в целом. В этом случае формула Байеса предстанет в виде:

(2)

где P(D_i/К*) - условная вероятность нахождения объекта диагностики в диагнозе D_i при условии, что в ходе обследования была получена реализация К* комплекса признаков К; Р(К*) -вероятность появления конкретной реализации К* комплекса признаков К у всех диагностируемых объектов, независимо от их технического состояния; Р(К*/D_i) - условная вероятность появления конкретной реализации К* комплекса диагностических признаков К для объектов, находящихся в диагнозе D_i.

Преобразуем последние выражения с учетом следующих соображений.

Примем, что система может находится только в одном из n технических состояний, тогда

Будем считать, что отдельные диагностические признаки, входящие в состав комплекса признаков, независимые. Такое допущение вполне справедливо для реальных условий при большом числе влияющих факторов. Тогда условную вероятность Р(К*/D_i) в соответствии с известными положениями теории вероятностей можно представить как произведение

где P(K*_j/D_i) - условная вероятность появления конкретной реализации К*_j j-того признака при нахождении объекта диагностики в диагнозе D_i; j= 1... l.

Вероятность же появления конкретной реализации комплекса признаков при нахождении объекта во всех диагнозах Р(К*) можно представить следующим образом

.

С учетом последних соотношений уравнение (2) перепишем в окончательном виде

(3)

Полученное уравнение называется обобщённой формулой Байеса.

В большинстве практических задач, особенно при большом числе признаков, можно принимать условие независимости признаков даже при наличии существенных корреляционных связей между ними и тогда (4)

Для определения вероятности диагноза по методу Байеса составляется исходная диагностическая матрица (табл. 1.1), которая формируется на основе предварительного статистического материала. В этой таблице содержатся вероятности разрядов признаков P(K_js/Di) при различных диагнозах. Если признаки двухразрядные (простые признаки "да-нет"). то в табл. 1.1 достаточно указать вероятность появления признака P(Kj/Di). Вероятность отсутствия признака (5)

Сумма вероятностей всехреализаций признака К_jравна единице .

При методе Байеса используется следующее правило: объект с комплексом признаков К* относится к диагнозу (классу) с наибольшей вероятностью К*ÎD_i, если P(D_i/K*)>P(D_j/K*), j=1, 2, …l; i¹j.

Таблица 1.1

Диагностическая матрица

2. Пример

При диагностировании степени электрокоррозии арматуры железобетонных опор с помощью прибора АДО-2М проверяются два признака: K₁ – заниженное значение потенциала арматуры и К₂- завышенное значение декремента колебаний опоры. Появление этих признаков связано либо с образованием трещин в опоре (состояние D₁), либо наличием коррозии в арматуре опоры (состояние D₂). При нормальном состоянии опоры (состояние D₃) признак К₁ не наблюдается, а признак К₂ наблюдается в 4% случаях. В состоянии D₂ признак K₁ встречается в 18%, а признак К₂ -в 31% случаев. В состоянии D₂ признак K₁ встречается в 38%, а признак К₂-в 49% случаях. Известно, что по окончанию срока службы 73% опор имеют нормальное состоянии, 6% опор имеют состояние D₁ и 17% - состояние D₂ . Требуется определить состояние опоры (поставить диагноз) при возможных сочетаниях проверяемых признаков.

1. Сведем исходные данные в диагностическую таблицу (табл. 1.2). При этом вероятности отсутствия признаков вычислим по формуле (5).

Таблица 1.2

Вероятности признаков и априорные вероятности состояний

Di	P(K1/Di)	P( /Di)	P(K2/Di)	P( /Di)	P(Di)
D1	0.18	0.82	0.31	0.69	0.1
D2	0.38	0.62	0.49	0.51	0.17
D3	0.0	1.0	0.04	0.96	0.73

2. Найдём вероятности, когда обнаружены оба признака P(D_i/K₁K₂). Считая признаки независимыми, применим формулы (3) и (4). Вероятность состояния D₁ при наличии признаков К₁ и К₂:

Аналогично получим P(D₂/K₁K₂)=0.904; P(D₃/K₁K₂)=0.

3. Определим вероятности нахождения опоры в различных состояний, если обследование показало, что потенциал в норме (признак К₁ отсутствует), но увеличен декремент колебаний (признак К₂ наблюдается). Используем те же формулы (3) и (4):

Аналогично получим P(D₂/ K₂)=0.537; P(D₃/ K₂)=0.304.

4. Вычислим вероятности состояний, когда признак К₁ наблюдается, а признак К₂ – отсутствует (формулы 3 и 4)

Соответственно P(D₂/K₁ )=0.816; P(D₃/ K₁ )=0.0.

5. Для случая, когда не наблюдаются оба признака:

P(D₁/ )=0.043; P(D₂/ )=0.068; P(D₃/ )=0.889.

Сведём результаты в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Результаты диагноза

Di	P(Di/K1K2)	P(Di/ K2)	P(Di/K1 )	P(Di/ )
D1	0,10	0,16	0,18	0,04
D2	0,90	0,54	0,82	0,07
D3	0,00	0,30	0,00	0,89

3. Анализ приведённых результатов позволяет установить:

- При наличии признаков К₁ и К₂ опора с вероятностью 0,90 имеется состояние D₂ (повышенная коррозия арматуры).

- При отсутствии обоих признаков наиболее вероятно нормальное состояние (вероятность 0,89).

- При наблюдении только признака К₁ наиболее вероятно состояние D₂ .

- При наблюдении только признака К₂ однозначно дать ответ о техническом состоянии опоры нельзя, требуется проведение дополнительного обследования, т.к. связь признака с состояниями опоры выражена нечётко.