Расчет эмпирических характеристик. Выбор теоретического закона распределения

Выбор теоретического закона распределения. По данным таблицы 3 строятся гистограммы эмпирического распределения аналогично примеру 1.

Надежность подшипников определяется усталостной долговечностью. Следовательно, можно выдвинуть гипотезу, что отказы подшипников распределены по закону Вейбулла. Это подтверждает и внешний вид гистограмм.

Определение параметров закона распределения. Закон Вейбулла является двухпараметрическим, т.е. для его полного определения необходимо найти два параметра - m и t₀=1/l.

Параметры распределения можно найти графическим методом с использованием выражения (4) и задаваясь различными значениями m:

m=0.5 f₁(m)=604.90 f₂(m)=545.45

m=0.7 f₁(m)=2396.36 f₂(m)=2338.33

m=0.9 f₁(m)=9505.34 f₂(m)=9719.49

m=0.8 f₁(m)=4772.02 f₂(m)=4779.34

Графики f₁(m) и f₂(m) пересекаются в точке с абсциссой, соответствующей m=0,79. При решении уравнений (4) одним из методов последовательного приближения с помощью компьютера получено уточненное значение m=0,793. Соответствующее значение t₀=4560.

Проверка правильности принятой гипотезы. Осуществляется с помощью критерия Пирсона, рассчитанного по выражению (10). Число разрядов при расчете критерия на единицу больше числа разрядов разбиения вариационного ряда k, так как добавляется интервал от t_a до +¥. Результаты расчетов представлены в таблице 4.

Таблица 4

Расчет критерия Пирсона

N инт.	ti-1, ч	ti, ч	Dti, ч	Dni	qi(Dti)	N*qi(Dti)	Dni -N*qi(Dti)	Ui2
					0.01454	5.118	1,882	0.69187
					0.010519	3.703	1,297	0.45455
					0.009338	3.287	-1,287	0.50399
					0.008622	3.035	-1,035	0.35299
					0.008111	2.855	-0,855	0.25614
					0.948869	334.001	-0.0017	8,99*10-9
	U2=SUi2= 2,25956

Величины q_i(Dt_i) рассчитываются по следующему выражению:

.

Например, для третьего интервала:

q₃(Dt₃)=0.974941 - 0.965602 = 0.009338

Число степеней свободы r в случае шести разрядов таблицы и двух параметров закона распределения, в соответствии с (13), равно 3 (r=6-2-1). Задавшись уровнем значимости a=10%, по таблице 3 Приложения 2 в зависимости от P=1-a=90% и числа степеней свободы r=3 находим критическое значение c²_кр=6,25. Подсчитанное значение U²=2,25956 не попадает в критическую область (6,25; +¥), следовательно, принятая гипотеза о законе распределения Вейбулла не противоречит статистическим данным.

Построение графиков теоретического распределения. Построение графиков распределения производим аналогично примеру 1.

Пример 3. Определить закон распределения неисправностей изделия, связанных с износом зубчатых колес.

Дано: время наблюдения t_a=6000 часов;

ресурс изделия t_р = 8000 часов;

число изделий N=174;

число неисправных изделий n=31;

время наработки до отказов отдельных экземпляров t_i: 360,920,987,1002,1380,1690,1850,1920,2780,3025,3272,3670,3810,3880,7117,4190,4210,4380,4420,4500,4730,4800,4850,5050,5190,5310,5360,5590,5870,5910,5920 часов.

Группировка данных. Интервал наработки 0...6000 часов разбиваем на разряды по правилу Старджена:

k = 1 +3,3lg31=5,92.

Число разрядов принимаем равным 6 величиной Dt_i=1000 ч.

В интервале от 2000 до 3000 часов наблюдался только один отказ, поэтому объединяем его с соседним и получаем новый интервал от 2000 до 4000 часов. Число разрядов при этом будет равно 5.

Расчет эмпирических характеристик надежности. По формулам (2) вычисляем в каждом разряде значения f_i^*(t), l_i^*(t) и P_i^*(t). Результаты расчетов представлены в таблице 5.

Таблица 5