Решение задачи интегрирования (определенного интеграла)
Определенный и неопределенный интеграл.
Решение задачи интегрирования функции на каком-то отрезке – это нахождение точного значения площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией f(x), осью ОХ, и отрезком a-b.
Раньше, до решения математиками задачи интегрирования, площадь криволинейной фигуры находили путем деления ее на меньшие фигуры, площадь которых известна, например прямоугольники, а искомую площадь находили сложением площадей отдельных кусочков. Очевидно, что результат был приблизительным.
На рисунке выше показано, что площадь отдельного прямоугольничка равна произведению его высоты на ширину= f(ai)*Δx. Где значение f(ai) – значение функции в точке ai. Δx – длина отрезка между точками ai - ai+1.
Геометрический смысл интегрирования функции на каком-то отрезке – нахождение площади криволинейной трапеции.
Физический смысл интегрирования заключается в том, что оно применимо когда требуется найти значение величины (например, Работу – А), значение которой зависит от переменной, которая сама меняется со временем или с расстоянием по какой-то по известной функции f(x).
Например, если сила F=const, работа равна произведению силы на время. A=F*t. Но если сила F меняется со временем - F(t), то для нахождения суммарной работы за какое-то время необходимо проинтегрировать действие этой силы по времени. Что и является площадью криволинейной трапеции.
Математики решили эту задачу в общем виде. Решена задача (теорема) Ньютона-Лейбница, в соответствии с которой S –площадь криволинейной трапеции на отрезке а-в находится по следующей формуле: Где f(x) – данная функция, F(x) – первообразная данной функции, Первообразная функция от функции f(x) – это такая функция, что F’(x) = f(x): Первая производная функции F (x) есть f(x). Например: f(x) = x2 , F(x) = x3/3. Так как F’(x) = f(x). Определенный интеграл:
Неопределенный интеграл – это когда пределы интегрирования не определены. Просто общая запись интеграла и функции.
!!! Таким образом, нахождение площади криволинейной трапеции сводится к нахождению первообразной от подинтегральной функции. Одним из способов является решение задачи по формуле Ньютона – Лейбница (нахождение первообразной данной функции).
Методы интегрирования: 1. Непосредственное интегрирование. 2. Интегрирование методом подстановки 3. Подведение под знак дифференциала 4. Интегрирование по частям. Несомненно, основным методом нахождения первообразной функции является непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных и свойств неопределенного интеграла. Все другие методы используются лишь для приведения исходного интеграла к табличному виду. Для решения задачи интегрирования нужно: - знать свойства интегралов (адитивность, произведение, деление подинтегральных функций); - уметь находить первообразные от функций или смотреть в справочнике; - знать методы интегрирования, или слышать о них.
Остановимся на использовании формулы Ньютона-Лейбница для вычисления точного значения определенного интеграла, приведем решение характерных примеров. Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a;b] , F(x) – первообразная функции f(x) на этом отрезке. Тогда справедлива формула Ньютона – Лейбница Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.
Рассмотрим практические примеры вычисления определенных и неопределенных интегралов: формула Ньютона-Лейбница имеет вид: . То есть, для вычисления определенного интеграла нужно найти F(x) - первообразную функции f(x), такую, что F’(x) = f(x). Например: f(x) = x2 , тогда F (x) = x3/3. Т.к. F’(x) = (x3/3)’ = x2. Тогда на отрезке интегрирования а=3, b=8 решение будет выглядеть так: S = F(8) – F(3) = 83/3 – 33/3 = 170,666 – 3 = 167,66666.
Значения первообразных многих функций приведены в справочниках и таблицах. Ниже привожу часть таблицы первообразных:
Можно рассмотреть решение нескольких примеров, если нужно.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (455)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |