СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
Рассмотрим движение точки по плоскости. В этом случае движение можно задать в полярных координатах. Для этого примем какую-либо точку плоскости за полюс и проведем из нее полярную ось, например ось (рис. 20). Положение движущейся точки на плоскости известно, если заданы радиус-вектор и полярный угол как функции времени, т.е. , . (23) Полярный угол считается положительным, если он откладывается от полярной оси до радиуса-вектора против часовой стрелки. Радиус-вектор как расстояние от точки до точки принимает только положительные значения. Уравнения (23) называются уравнениями движения точки в полярных координатах. Они являются также уравнениями траектории точки в параметрической форме. Если из (23) исключить параметр – время , то получим уравнение траектории в полярных координатах: . Введем единичный вектор , направленный по радиусу-вектору от полюса к точке . Тогда . Для скорости получаем: . Согласно (15), для производной по времени от единичного вектора имеем: , где вместо единичного вектора введен единичный вектор , направление которого получается поворотом вектора на 900 в положительном направлении угла , т.е. против часовой стрелки (рис. 20). После этого для скорости точки получаем: . (24) Это разложение скорости точки на радиальную и трансверсальную (поперечную) составляющие, т.е.: , (25) где , . Для проекций скорости на оси, положительные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов и из (24), получаем: , . (26) Они соответственно называются радиальной и трансверсальной скоростями. В зависимости от знаков производных и радиальная и трансверсальная скорости могут быть как положительными, так и отрицательными. Используя (24), определяем ускорение точки в полярных координатах. Имеем . Выполняя дифференцирование, получим . Для производной по времени от единичного вектора имеем , так как вектор поворачивается с той же угловой скоростью , что и вектор , а единичным вектором, по которому направлен вектор , является вектор . После подстановки в выражение для ускорения производных от единичных векторов и объединения слагаемых имеем . (27) Получили разложение ускорения точки на радиальную , и трансверсальную составляющие, т.е. , , . Для проекций ускорения на оси и получаем , . (28) Ускорение называется радиальным, а – трансверсальным. Трансверсальное ускорение можно выразить также в форме: . Это выражение для трансверсального ускорения широко используется при рассмотрении движения планет и искусственных спутников Земли. Радиальная и трансверсальная составляющие ускорения взаимно перпендикулярны, поэтому . (29) Отметим, что для неподвижных осей координат , и справедливы формулы , , . Для подвижных осей и , как следует из (26) и (28), и не равны производным по времени от и . Частные случаи 1. Если , то имеем прямолинейное движение по прямой . В этом случае и , из (26) и (28) получаем: , , , , , . Эти величины совпадают с ранее полученными выражениями для них при изучении движения точки в декартовых координатах. Только расстояние следует заменить на координату . 2. При (рис. 23) получаем движение точки по окружности. В этом случае , . Из (26) и (28) имеем: , , , , , . В этих формулах является угловой скоростью вращения радиуса-вектора, а – его угловым ускорением.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2567)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |