Теорема Кантора о существовании множеств мощности более континуума
Пусть M - некоторое множество и P (M) - булеан множества M. Тогда |P(M)|>|M|. Доказательство Если множество M - конечно и |M|=n, то теорема верна, т.к. |P(M)|= >n. Очевидно, что для бесконечного множества M выполняется |P(M)| |M|, так как множество P(M) содержит по крайней мере все одноэлементные подмножества из элементов множества M. Покажем что |P(M)| |M|. Доказательство будем проводить от противного. Пусть |M|=|P(M)|, т.е. множества M и P(M) эквивалентны, а это означает, что между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие. Установим такое соответствие: Элементу a из множества M поставим во взаимно однозначное соответствие множество A - элементы булеана P(M); элементу в поставим во взаимно однозначное соответствие множество В (элемент множества (M)); элементус - множество С и т.д. Постоим следующее множество X элементов из M: для пары соответствующих членов (а,А) элемент амы поместим в множество Xтогда и только тогда, если элемент а не принадлежит множеству А, иэлементамы не поместим в множество X , если апринадлежит множествуА;алогично, элемент впомещаем в множество X , если этот элемент не принадлежит множеству В и не помещаем в множество X , если этот элемент принадлежит множеству В; так по всем элементам множества A. Так как множество Xбудет состоять из элементов множества M, то это множество является элементом булеана множества M и ему, как и любому другому элементу из множества P(M), должен взаимно однозначно соответствовать некоторый элемент x из множества M. Покажем, что этого не может быть. Действительно, если элементxпринадлежит соответствующему ему множеству X, то этот элемент мы в множество Xвключить не должны, если же элемент xне принадлежит множеству X,то мы должны этот элемент включить в множество X.Полученное противоречие доказывает теорему.
Теорема Кантора-Бернштейна. Пусть А и В произвольные множества. Если в в множестве А есть подмножество эквивалентное множеству В, а в множестве В есть подмножество эквивалентное множеству А, то А и В эквивалентные множества. Доказательство. Не уменьшая общности будем считать, что А и В, так как если =А или=В, то теорема верна. Так как ~В, а B, то найдется множество , такое, что ~. Так как ~A, а A, то найдется множество ~. Получили, что А~~, B~~. Продолжая аналогичные рассуждения, получим: ~ , ~ ,при этом ,k=1,2,... . Отсюда следует, что
\ ~ \ .(1)
Обозначим черезD =A ... . Тогда A = D (A\ ) ( \ ) ( \ ) ( \ ) ...= = D (A\ ) ( \ ) ( \ )... ( \ ) ( \ ) ( \ )... . = D ( \ ) ( \ ) ( \ ) ...= =D ( \ ) ( \ ) ( \ )... ( \ ) ( \ ) ... . Из полученных выражений для A и , а так же из условий (1) следует A~ , что и доказывает теорему.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (928)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |