Алгоритм интегрирования дробно-рациональных функций
1) Выяснить, является ли подынтегральная функция правильной. Если нет, то представить её в виде суммы многочлена и правильной дробно-рациональной функции. 2) Правильную дробно-рациональную функцию разложить на сумму простых дробей. 3) Проинтегрировать многочлен и каждую простую дробь. Записать ответ. Пример.Вычислить интеграл . Решение.1) Подынтегральная функция имеет вид . В числителе находится многочлен степени , в знаменателе – многочлен степени . Следовательно, дробно-рациональная функция является неправильной. Представим её в виде суммы многочлена и правильной дробно-рациональной функции. Для этого разделим числитель на знаменатель: Тогда . 2) Правильная дробно-рациональная функция: . Разложим её на сумму простых дробей. Для этого разложим знаменатель на множители: . Тогда . Сумма простых дробей примет вид: . (13.2) Найдём числа , , и методом неопределённых коэффициентов: приведём слагаемые в правой части равенства (13.2) к общему знаменателю, раскроем скобки, сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями : . Слева и справа от знака равенства находятся две дробно-рациональных функции с равными знаменателями. Следовательно, их числители должны быть равны. В каждом из числителей находятся многочлены. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях . Для нахождения чисел , , и приравняем коэффициенты многочленов при одинаковых степенях : . Таким образом, . 3) Вычислим интеграл: Интегрирование тригонометрических выражений Интегралы, содержащие рациональные функции от и ( ) всегда рационализируются с помощью подстановки: (в ряде случаев это приводит к громоздким вычислениям). В некоторых случаях можно использовать подстановки , , , .
Интегрирование некоторых иррациональных выражений В некоторых случаях с помощью специальных подстановок к интегралам от рациональных функций сводятся интегралы от иррациональных функций.
Тема 5. Определённый интеграл Определённый интеграл Пусть функция задана на отрезке . Разобьём отрезок на произвольных частей точками . Этот набор точек будем называть разбиением отрезка . Выберем в каждом из частичных отрезков произвольную промежуточную точку : , . Обозначим длину каждого частичного отрезка . Определение 1. Интегральной суммой для функции на отрезке , соответствующей данному разбиению и данному выбору промежуточных точек ( ) называется число . Определение 2. Диаметром разбиения называется число . Определение 3.Число (при условии, что предел существует и конечен) называется определённым интегралом от функции на отрезке . Определённый интеграл обозначается символом: . Определение 4. Если определённый интеграл существует, то функция называется интегрируемой на отрезке .
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (577)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |