Применение теорем об эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов и таблицы эквивалентностей
Замена переменных при вычислении пределов, использование непрерывности функции при вычислении пределов. а) Правило замены переменной для непрерывной функции. По определению непрерывности функции в точке , Если дана сложная функция , функция имеет предел в точке и функция непрерывна в точке , то .
То есть при вычислении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции. Например, в силу непрерывности основных элементарных функций справедливы равенства:
если – непрерывные функции и т. д. Пример 5. Вычислить
б) Правило замены переменной для пределов функций в общем виде. Пусть существуют пределы и и при . Тогда при существует предел сложной функции и . Это правило полезно при вычислении предела в том случае, когда вычислить трудно. Полагают и находят предел при условии, что этот предел вычисляется проще первоначального. Пример 6. Вычислить .
Решение. Сделаем замену переменной , тогда
.
Применение замечательных пределов при вычислении пределов функций Предел называется первым замечательным пределом (раскрывает неопределенность ). Если функция такова, что , то .Этот предел имеет важное значение при раскрытии неопределенности . Пример 7. Вычислить а) ; б) . Решение. а) Имеем неопределенность . б) . Так как стремится не к 0, а к , то сделаем замену переменной . При при , а .
Имеем Второй замечательный предел имеет вид или , где е=2,71826…– иррациональное и трансцендентное число. Если , то . Если , то . С помощью второго замечательного предела раскрывается неопределенность , то есть ищутся пределы показательно- степенных функций , где . Предположим, что в окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Применяя формулу второго замечательного предела и возможность перехода к пределу отдельно в основании и показателе степени, получаем: Пример 8. Вычислить . Решение. в окрестности за исключением точки . Применяя вышеуказанные преобразования, получим В процессе вычисления предела получили Вычисляем Следовательно, и . Ответ: Пример 9.Вычислить
Решение. Имеем При вычислении этого предела аналогично используем второй замечательный предел Применение теорем об эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов и таблицы эквивалентностей.
Пусть и . Если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми в точке . Это обозначается как при . Теорема 1. Если , при , то при . Теорема 2. Если , при , то Теорема 3. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых эквивалентна бесконечно малой низшего порядка. Иначе: пусть – бесконечно малая низшего порядка по сравнению с , , тогда . Теорема 4. Если , при , причем существует и отличен от –1, то при . Таблица эквивалентностей. Пусть – бесконечно малая при , то есть . Тогда 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. .
Все приведенные выше формулы справедливы при . Рассмотрим примеры на вычисление пределов с помощью теорем об эквивалентных бесконечно малых и таблицы эквивалентностей. Пример 10. Вычислить а) б) в) Решение. При вычислении этого предела применили теоремы 2 и 5 и табличные эквивалентности 1) и 7). б) Имеем неопределенность . Применим эквивалентность , так как . Но нельзя считать, что , поскольку при . Поэтому сделаем замену переменной при . Тогда имеем: Использовали формулы приведения , табличные эквивалентности 1) и 11) и теорему 1: , так как . в) В данном случае также имеем неопределенность . Сделаем замену при . Получаем Применили эквивалентности 1) и 6). Ответ: а) б) в)
Пример 11. Вычислить . Решение. Так как при , то Ответ:
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (3225)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |