Задания для самостоятельного решения
Исследовать функцию у=f(х) на экстремум и определить уmax и уmin на отрезке [а, в]. 1. у=3х4 -16х3+2 [-3; 1]; 2. у=х3-12х+7 [0; 3]; 3. у=х5- [0; 2].
Точки перегиба. Асимптоты функции
График функции у=f(х) обращен выпуклостью вниз (вогнутый), если он лежит выше касательной, проведенной в любой ее точке (рис.б). Если функция у=f(х) во всех точках интервала (а; в) имеет отрицательную вторую производную, т.е. f²(x)<0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если f²(x)>0, то график выпуклый вниз. Точка графика, отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба. Точки кривой, в которых f²(x)=0, или не существует, называются критическими точками второго рода. Точки перегиба следует искать среди критических точек второго рода. В критической точке второго рода будет перегиб, если при переходе через эту точку f²(x) меняет знак.
Асимптотой кривой y=f(x) называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (на рисунке мы имеем две асимптоты функции у=f(x): х=а и у=0). Различают горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты. Кривая имеет горизонтальную асимптоту, если или (1) Кривая имеет вертикальную асимптоту если . (2) Очевидно, что вертикальные асимптоты функция может иметь только в точках разрыва или на границах области определения. Наклонной асимптотой кривой называется прямая где (3) (следует отдельно рассматривать случаи и ). Заметим, что если k=0, мы получим уравнение горизонтальной асимптоты. Т.е. формулы (1) являются частным случаем формул (3). Общее исследование функции. Для полного исследования функции обычно выясняют такие её характеристики: 1. Область определения функции 2. Четность, нечетность функции 3. Точки пересечения с осями координат (если возможно). 4. Асимптоты графика функции 5. Интервалы монотонности и экстремумы функции 6. Интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции По полученным данным построить график функции. Если данных исследования не достаточно для построения графика функции, можно вычислить ее значения в нескольких точках области определения.
Правило Лопиталя Правило: Предел отношения двух бесконечных малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если он существует, т.е. . То есть вычисление предела в случае неопределенности вида или можно заменить вычислением предела отношения их производных, которое часто бывает проще. Если отношение производных опять приводит к неопределенностям или , нужно рассматривать отношение вторых производных, (предварительно выполнив все возможные упрощения и т.д. Пример.Вычислить . Решение. . Применим правило Лопиталя : . Пример. Вычислить . Применим правило еще раз:
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (301)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |