Прогрессии. Числовые последовательности

В Вавилонском царстве всеми расчетами занимались писцы, которые принадлежали к высшему сословию. Школа, где обучались писцы, называлась «дом табличек». Для таких школ предназначались специальные математические таблички. Тексты на них можно было разделить на два класса: таблицы и задачники. Среди задач на табличках встречаются задачи на арифметические и геометрические прогрессии. Вавилонские писцы знали правила суммирования n членов арифметической прогрессии:

.

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым.

Ариабхатта (V в.) применял формулы общего числа, суммы арифметической прогрессии. Но правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202 г. (Леонардо Пизанский)

Сегодня встречается понятие прогрессии в различных областях науки.

Химия. При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растёт по геометрической прогрессии.

Геометрия. Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.

Физика. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их ещё на 4 части… – это пример геометрической прогрессии.

Биология. Многие организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии. Известно, что бактерии размножаются давлением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух делится ещё на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий… Интенсивность размножения бактерий используют в пищевой и фармацевтической промышленностях, в сельском и коммунальном хозяйствах, природоохранных мероприятиях.

Экономика. Вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии, сложные проценты – увеличение в геометрической прогрессии.

С решением типичных задачи из различных областей наук, а также использованием первоначальных сведений из теории чисел, теории групп и теории инвариантов в ходе изучения различных предметов можно познакомится самостоятельно в приложение 4.

При организации интегрированного обучения видна органическая связь между предметами, обучающиеся почувствуют и полюбят эффект разнообразия, а также у них будет развиваться новое качество - целенаправленно работать и ориентироваться в созданных условиях.

 

Приложение 1

Задача 1. Коля поехал на дачу на велосипеде, а Миша на мотоцикле. Выехали они одновременно, но так как скорость мотоциклиста на 15 км/час больше скорости велосипедиста, то Миша приехал на 1 часа раньше Коли. Найдите скорость движения каждого мальчика, если расстояние от дома до дачи 30 км.

Решение. Так как требуется найти скорости, обозначим меньшую из них буквой Х и заполним таблицу.

 

	S (км)	v (км/час)	t (ч)
Велосипедист		Х
Мотоциклист		Х + 15

 

Учитывая, что мотоциклист приехал на 2 часа раньше, составим уравнение

; 30x+450=30x+x²+15x; x²+15x-450=0;

Уравнение имеет два корня: х₁ = 15, х₂ = -30, но второй корень не подходит по смыслу задачи.

Ответ: скорость Коли 15 км/час, Миши 30 км/час.

При составлении математической модели учителю целесообразно сначала ответить на следующие вопросы совместно с учениками

1. Какой процесс описывается в задаче?

2. Какими величинами характеризуется этот процесс?

3. Как связаны между собой эти величины?

4. Сколько реальных процессов описывается в задаче?

5. Значение каких величин известны? На данном этапе формируются познавательные учебные действия и умение использовать полученную информацию в деятельности, происходит развитие мыслительных операций. В последующем ученикам необходимо решать задания по аналогии, используя алгоритм действий.

6. Значение каких величин сравниваются?

7. Значение каких величин требуется найти?

8. Составить краткую запись условия задачи.

9. Обозначить одну из неизвестных величин переменной х и выразить другие неизвестные величины через х.

Решение текстовой задачи на движение состоит из трех этапов: составление математической модели, работы с ней и ответа на вопрос задачи. В этой задаче сравнивались две одноименные величины, применялись три приема: чтобы уравнять две величины, нужно к меньшей из них прибавить разницу между ними, или из большей вычесть разницу, или из большей вычесть меньшую величину.

Рассмотрим задачи, описывающие и другие явления физики, не только механические.

Задача 2.Электрическое сопротивление одного проводника на 1 Ом больше, чем сопротивление другого. Напряжение 20 Вольт вызывает в параллельно соединенных проводниках ток силой 9 А. Найти сопротивление каждого из проводников.

Решение:

Пусть сопротивление одного проводника x (Ом), тогда другого – (x + 1) Ом. Из курса физики известно, что если проводники соединены параллельно, то ток разветвляется, то есть сила тока всей цепи равна сумме сил токов ветвей цепи: I_общ=I₁+I₂. По закону Ома: I = U/R. Итак: U/R₁+ U/R₂=9.

Составим уравнение и решим:

Ответ: R₁ = 4 Ом, R₂ = 5 Ом.

Задача 3.Вода массой 10 кг разлита в два сосуда. При нагревании первый сосуд получил 48 ккал, а второй – 12 ккал. После чего температура в первом сосуде оказалась на 1⁰С выше, чем во втором. Сколько килограмм воды находилось в каждом сосуде? (Теплоотдачу в окружающую среду не учитывать).

Решение.

Количество теплоты , где С – теплоемкость воды, ∆T – разность температур, показывающая на сколько градусов нагрели воду, m - масса воды, с =1.

Пусть масса воды в первом сосуде х кг, во втором сосуде – (10 – х) кг.

По условию ∆Q = 48 ккал, тогда ∆T₁ = 48/х, ∆T₂ = 12/(10-х).

Составим по условию задачи уравнение:

48/х- 12/(10-х) = 1, х ≠0,х≠40.

Решаем:

Значение х₁ = 62,3 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: в первом сосуде было 7,7 кг воды, а во втором – 2,3 кг.

Теперь мы рассмотрим несколько физических задач, имеющих практическое значение, решения которых сводятся к решению квадратного уравнения. Совсем скоро дети по физике будут изучать тему «Движение тела под действием силы тяжести». На уроке алгебры при изучении квадратных уравнений учителю рекомендуем вспомнить, какие формулы описывают прямолинейное движение тела по вертикали под действием силы тяжести. Данное движение рассматривается как частный случай равноускоренного движения. Уравнение движения тела имеет вид:

H = – если тело движется вверх;

H = – если тело движется вниз.

υ = - скорость тела при начальной скорости направленной вниз;

υ = t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/><w:lang w:val="EN-US" w:fareast="RU"/></w:rPr><m:t>t</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> - скорость тела при начальной скорости направленной вверх;

Ускорение свободного падения g =9,8 м/с² (при решении задач для упрощения расчетов принимают g =10 м/с²).

Задача 1.Сколько времени футбольный мяч после удара будет находиться выше 25 м. Начальная скорость мяча 30 м/с? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ выразите в м/с.

Решение:

t₁= 5, t₂= 1

Мяч пролетает одну и ту же высоту дважды. Один раз – когда летит вверх, и другой – когда мяч летит вниз.

. Ответ:4 секунды мяч летел выше 25 метров.

Подобные задачи встречаются и в заданиях ЕГЭ по математике. На это следует обратить внимание учеников. В разделе «самостоятельные работы» мы предлагаем подборку таких задач.

Задача 2.Камень падает в шахту. Через 6 секунд слышен звук удара камня о дно шахты. Определите глубину шахты, считая скорость звука равной 330 м/с.

Решение: Камень падает вниз на дно шахты, ударяется и звуковая волна от удара камня движется вверх, до высоты слушателя. Поэтому t = t_к +t_зв ,

где t_к – время падения камня, t_зв – время движения звуковой волны.

С другой стороны расстояние, какое проходит звуковая волна определяется по формуле: S = υ_зв ∙ t_зв [м].

Так как глубина шахты и есть, то расстояние, что проходит звуковая волна, то можно приравнять Н=S, и получится уравнение: υ_зв ∙ t_зв =

Обозначим время падения камня t_к=х, а время движения звуковой волны t_зв=у. Составим систему уравнений:

Подставив числовые значения, получим следующую систему уравнений:

Решим систему уравнений методом подстановки: выразим переменную х через у. х =6 – у

Тогда система уравнений примет вид:

36 – 12у + у² = 66у у² – 78у + 36 = 0 D = 6084 -144 = 5940

y₁ = = 78,5 (с) - не подходит, т.к это время больше 6с.

y₂ = = 0,5(с) – время движения звуковой волны t_зв .

х = 6 – 0,5 = 5,5 (с) – время падения камня t_к.

Теперь найдем глубину шахты: H = = = 151,25 (м).

Ответ: глубина шахты около 151,25 м.

Приложение 2

 

Тип урока: Бинарный урок по физике и математике в 5 классе.

Тема Буквенные выражения.

Образовательные задачи:

1) заложить первые представления о познаваемости явлений природы;

2) объяснить место физики как науки и показать применимость математического аппарата в ней.

Эпиграф:Науку все глубже постигнуть стремись,

Познанием вечного жаждой томись.

Лишь первых познаний блеснет тебе свет,

Узнаешь: предела для знания нет.

Фирдоуси (Персидский и таджикский поэт, 940 – 1030 гг).

Ход урока