РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТИПА 41–60
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТИПА 1–20 Задача. Вычислить определитель 1) разложением по первой строке; 2) по правилу треугольника; 3) с использованием элементарных преобразований. Решение. 1) Воспользуемся формулой . В нашем случае . 2) Правило треугольника имеет вид . Применяя это правило для вычисления заданного определителя, получаем . 3) Получим с помощью тождественных преобразований из исходного определителя новый, который содержит два нулевых элемента, например, в первом столбце. Для этого сначала умножим первую строку заданного определителя на и результат прибавим ко второй строке определителя. Затем умножим первую строку исходного определителя на и результат прибавим к третьей его строке. В результате получим следующий определитель, равный данному: . Теперь находим значение полученного (а значит, и исходного) определителя с помощью его разложения по элементам первого столбца: = .
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТИПА 21–40 Задача.Пусть , , .Требуется решить уравнения 1) , 2) , 3) . Решение.1)Вычислим определитель матрицы А: . Так как , то обратная матрица существует. Умножим матричное уравнение на слева и проведем преобразования с учетом свойств матричных операций: , . В результате получаем . Находим обратную матрицу по формуле , где – присоединенная матрица. Для этого вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы A: , , , . Таким образом, , т.е. . Теперь вычисляем искомую матрицу (решение рассматриваемого матричного уравнения): . Выполняем проверку: . Проверка дала верное равенство, т.е. уравнение решено правильно. 2) Умножим матричное уравнение на справа и проведем преобразования с учетом свойств матричных операций: , . В результате получаем формулу . Так как , то . Выполняем проверку: . Вывод: уравнение решено верно. 3) Умножаем сначала матричное уравнение на слева, а затем полученный результат – на справа. В результате искомое решение уравнения выражается формулой . Ищем : ; ; . Теперь имеем
. Остается осуществить проверку правильности полученного результата (сделайте это сами). РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТИПА 41–60 Задача1. Требуется, используя формулы Крамера, решить систему Решение.Подсчитаем сначала главный определитель системы , воспользовавшись его разложением по элементам первой строки: . У нас Так как , делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители : Далее, используя формулами Крамера, окончательно получаем: Осуществим проверку правильности решения, подставив его в левую часть каждого уравнения заданной системы: Все три равенства верные, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения Задача 2.Решим систему уравнений из задачи 1 методом Гаусса последовательного исключения неизвестных. 1) Сначала умножим первое уравнение системы на и результат сложим со вторым уравнением системы. Затем первое уравнение системы умножим на (–3) и результат сложим с третьим ее уравнением. В результате указанных тождественных преобразований система примет вид, в котором лишь первое уравнение будет содержать неизвестную величину x:
2) Займемся исключением неизвестной y из третьего уравнения последней системы. Для этого умножим второе ее уравнение на и сложим полученный результат с третьим уравнением. В результате получим новую систему, равносильную заданной: Теперь из третьего уравнения получаем , затем из второго – и наконец из первого – . Система решена. Задача 3. Cистему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы. Решение. Обозначим через матрицу коэффициентов при неизвестных, через – матрицу-столбец неизвестных , а через – матрицу-столбец свободных членов: , , . С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: . (1) Если матрица невырожденная, т.е. её определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу . Умножив обе части уравнения (1) слева на , получим , т.е. . (2) Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений (1) необходимо вычислить обратную матрицу . Пусть имеем невырожденную матрицу . Тогда обратная матрица определяется по формуле , где (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3) – алгебраическое дополнение элемента в определителе матрицы , которое является произведением на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i-й строки j-го столбца в определителе матрицы . Вычислим определитель и алгебраические дополнения его элементов: , следовательно, матрица имеет обратную матрицу ; , , , , , , , , . Отсюда . По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме: Отсюда имеем , , . Остается сделать проверку, которую предлагаем сделать читателю самостоятельно.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (336)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |