Предел числовой последовательности
По аналогии с пределом функции в бесконечно удаленной точке вводится понятие предела последовательности.
Определение. Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого найдется такое натуральное число , что при всех выполняется неравенство . Обозначают: или при . Говорят также, что последовательность сходится к а. Например, последовательность с общим членом имеет предел .
Бесконечно большие функции Определение. Функция называется бесконечно большой при
или при .
Например, бесконечно большими функциями (б.б.ф.) являются: при ; при ; при . Различают частные случаи б.б.ф., когда, начиная с некоторого момента, б.б.ф. возрастая, принимает только положительные значения или, убывая, принимает только отрицательные значения. Записывают это следующим образом: , . Например, , .
Бесконечно малые функции Определение. Функция называется бесконечно малой при .
Бесконечно малые функции (б.м.ф.) обозначают малыми греческими буквами α(х), β(х) и т.д. Например, при ; при ; при . Между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями существует простая связь, устанавливаемая следующей теоремой.
Теорема. Если функция есть бесконечно малая функция при и в некоторой окрестности точки , то обратная величина является бесконечно большой функцией при .
Справедлива и обратная теорема: величина, обратная всякой бесконечно большой, будет бесконечно малой. Например, при есть б.м.ф., а при − б.б.ф.
Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией Сравнивая между собой определения предела функции в точке с определением бесконечно малой функции, можно заметить, что разность между функцией и ее пределом является величиной бесконечно малой. Утверждение этого факта формулируют в двух теоремах − прямой и обратной.
Теорема (прямая). Если функция имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции , т.е. если , то .
может принимать как положительные, так и отрицательные значения, т.е. функция может быть как больше, так и меньше своего предела.
Теорема (обратная). Если функцию можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции , то число А является пределом функции , т.е. если , то . Основные теоремы о пределах Приведем без доказательства теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций. Пусть и − функции, для которых существуют пределы при (или ), т.е. и .
Теорема. Если функция постоянна, то ее предел равен ей самой: . Теорема. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: . Следствие. Функция может иметь только один предел при .
Теорема. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: . Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: . Следствие. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: .
Теорема. Если предел функции отличен от нуля, то предел обратной ей по величине функции равен обратной величине предела данной функции: .
Теорема. Предел частного равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля: .
Теорема. Если для функции существует , то .
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1691)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |