Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Горизонтальные асимптоты



2015-11-27 1253 Обсуждений (0)
Горизонтальные асимптоты 0.00 из 5.00 0 оценок




Определение.

Если при ( ) функция имеет конечный предел, равный числу b:

,

то прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

 

Например, для функции имеем

, .

Соответственно, прямая − горизонтальная асимптота для правой ветви графика функции , а прямая − для левой ветви.

В том случае, если

,

график функции не имеет горизонтальных асимптот, но может иметь наклонные.

 

Наклонные асимптоты

Определение.

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при ( ), если выполняется равенство

.

Наличие наклонной асимптоты устанавливают с помощью следующей теоремы.

 

Теорема.

Для того, чтобы график функции имел при ( ) наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

и .

Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет.

 


Замечания.

1. При отыскании асимптот следует отдельно рассматривать случаи и .

2. Если

и ,

то график функции имеет горизонтальную асимптоту .

3. Если

и ,

то прямая (ось Ох) является горизонтальной асимптотой графика функции .

Из замечаний следует, что горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай наклонной асимптоты при . Поэтому при отыскании асимптот графика функции рассматривают лишь два случая:

1) вертикальные асимптоты,

2) наклонные асимптоты.

 

Пример

Найти асимптоты графика функции .

.

1) − точка разрыва второго рода:

, .

Прямая − вертикальная асимптота.

2) ,

,

.

Прямая − горизонтальная асимптота. Наклонной асимптоты нет.

 

Общая схема исследования функции и построение графика

В предыдущих параграфах было показано, как с помощью производных двух первых порядков изучаются общие свойства функции. Пользуясь результатами этого изучения, можно составить представление о характере функции и, в частности, построить ее график.

Исследование функции целесообразно проводить по следующей схеме.

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Исследовать функцию на периодичность.

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

5. Найти интервалы знакопостоянства функции (интервалы, на которых или ).

6. Найти асимптоты графика функции.

7. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции.

8. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.

9. Построить график функции.

 

Пример

Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения функции .

2. Функция нечетная: . График функции симметричен относительно начала координат

3. Функция непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:

С осью Оу: , точка .

С осью Ох: , , , .

5. Точки , и разбивают ось Ох на четыре интервала.

при ;

при ;

при ;

при .

6. Так как функция является непрерывной, то ее график не имеет вертикальных асимптот.

.

Наклонной и горизонтальной асимптот нет.

7. ,

, , − критические точки.

для «↑»,

для «↓»,

для «↑».

Сведем данные в таблицу.

х -1
+ +
↑ (возрастает) mах ↓ (убывает) min -2 ↑ (возрастает)

, ;

точка − максимум;

точка − минимум.

8. , , , .

при « »;

при « ».

х
+
(выпуклый) (точка перегиба) (вогнутый)

Точка − точка перегиба.

9. График функции (рис.5.12)

 

 
 

 

 


Рис. 5.12

 


Упражнения

Найти интервалы возрастания и убывания функций:

1. ; Ответ: − убывает; − возрастает.
2. ; Ответ: − убывает; − возрастает.
3. ; Ответ: − убывает; − возрастает.
4. ; Ответ: − возрастает; − убывает.

 

Найти экстремумы функций:

5. ; Ответ: нет экстремума.
6. ; Ответ: минимум, максимум.
7. ; Ответ: максимум, минимум.  

 

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанных отрезках:

8. на ; Ответ: наибольшее, наименьшее.
9. на Ответ: наименьшее, наибольшее.

 

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графиков функций:

10. Ответ: − выпуклость, − вогнутость, − точка перегиба.
11. Ответ: − вогнутость, − выпуклость, − вогнутость, , − точки перегиба.

 

12. Ответ: − выпуклость, − вогнутость, − выпуклость, , − точки перегиба.

 

Найти асимптоты кривых:

13. Ответ: вертикальная; горизонтальная.
14. Ответ: вертикальная; наклонная.
15. Ответ: горизонтальная.  

 

Исследовать функции и построить их графики:

16.  
17.  
18.  

 



2015-11-27 1253 Обсуждений (0)
Горизонтальные асимптоты 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: Горизонтальные асимптоты

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1253)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.008 сек.)