Горизонтальные асимптоты
Определение. Если при ( ) функция имеет конечный предел, равный числу b: , то прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .
Например, для функции имеем , . Соответственно, прямая − горизонтальная асимптота для правой ветви графика функции , а прямая − для левой ветви. В том случае, если , график функции не имеет горизонтальных асимптот, но может иметь наклонные.
Наклонные асимптоты Определение. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при ( ), если выполняется равенство . Наличие наклонной асимптоты устанавливают с помощью следующей теоремы.
Теорема. Для того, чтобы график функции имел при ( ) наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы и . Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет.
Замечания. 1. При отыскании асимптот следует отдельно рассматривать случаи и . 2. Если и , то график функции имеет горизонтальную асимптоту . 3. Если и , то прямая (ось Ох) является горизонтальной асимптотой графика функции . Из замечаний следует, что горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай наклонной асимптоты при . Поэтому при отыскании асимптот графика функции рассматривают лишь два случая: 1) вертикальные асимптоты, 2) наклонные асимптоты.
Пример Найти асимптоты графика функции . . 1) − точка разрыва второго рода: , . Прямая − вертикальная асимптота. 2) , , . Прямая − горизонтальная асимптота. Наклонной асимптоты нет.
Общая схема исследования функции и построение графика В предыдущих параграфах было показано, как с помощью производных двух первых порядков изучаются общие свойства функции. Пользуясь результатами этого изучения, можно составить представление о характере функции и, в частности, построить ее график. Исследование функции целесообразно проводить по следующей схеме. 1. Найти область определения функции. 2. Исследовать функцию на четность и нечетность. 3. Исследовать функцию на периодичность. 4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. 5. Найти интервалы знакопостоянства функции (интервалы, на которых или ). 6. Найти асимптоты графика функции. 7. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции. 8. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции. 9. Построить график функции.
Пример Исследовать функцию и построить ее график. 1. Область определения функции . 2. Функция нечетная: . График функции симметричен относительно начала координат 3. Функция непериодическая. 4. Точки пересечения с осями координат: С осью Оу: , точка . С осью Ох: , , , . 5. Точки , и разбивают ось Ох на четыре интервала. при ; при ; при ; при . 6. Так как функция является непрерывной, то ее график не имеет вертикальных асимптот. . Наклонной и горизонтальной асимптот нет. 7. , , , − критические точки. для «↑», для «↓», для «↑». Сведем данные в таблицу.
, ; точка − максимум; точка − минимум. 8. , , , . при « »; при « ».
Точка − точка перегиба. 9. График функции (рис.5.12)
Рис. 5.12
Упражнения Найти интервалы возрастания и убывания функций:
Найти экстремумы функций:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанных отрезках:
Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графиков функций:
Найти асимптоты кривых:
Исследовать функции и построить их графики:
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1253)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |