Метод непосредственного интегрирования
Интегрирование, основанное на прямом использовании таблицы интегралов и свойств неопределенного интеграла, называется непосредственным интегрированием. При непосредственном интегрировании могут представиться три случая. I. Интеграл находят непосредственно по соответствующему табличному интегралу. Примеры 1) ; 2) ;
II. Интеграл приводится к одному или нескольким табличным интегралам в результате применения свойств неопределенного интеграла.
Примеры 1. ;
2. .
III. Интеграл приводится к одному или нескольким табличным интегралам в результате элементарных тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла. Примеры 1. ;
2. ;
;
4. .
Метод интегрирования подстановкой (замена переменной) Сущность метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования (т.е. подстановки) удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который является табличным или легко находится другим способом. Общих методов подбора подстановок не существует. Рассмотрим некоторые варианты подстановок.
Линейные подстановки При сведении данного интеграла к табличному часто используются преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»). I. Под знак дифференциала, стоящего в интеграле, можно ввести любое постоянное слагаемое. При любой постоянной а будет . Поэтому .
Примеры 1. ;
2. ;
3. .
II. Под знак дифференциала, стоящего в интеграле, можно ввести любой постоянный множитель, разделив на него интеграл. Известно, если а − постоянно, то . Тогда . Поэтому .
Примеры 1. ;
2. ;
3. .
В некоторых случаях применяют оба приема вместе: , где а и b − постоянные.
Примеры 2. ;
3. .
Подстановка вида Если под знаком интеграла стоит сложная функция, умноженная на производную от внутренней функции, т.е. интеграл имеет вид: , то этот интеграл можно упростить, если заменить внутреннюю функцию новой переменной . Тогда получим . В данном случае была применена операция «подведения под знак дифференциала» ( ). Для применения подстановки существует следующее правило.
Правило. Чтобы найти интеграл , надо 1) переписать интеграл в виде ; 2) сделать замену , что приведет к интегралу ; 3) найти последний интеграл; 4) в полученном ответе произвести обратную замену u на .
Примеры 1. ;
2. ;
3. ;
4. .
Подстановка вида Пусть требуется найти интеграл . Иногда бывает целесообразно при вычислении такого интеграла, в котором независимой переменой является х, сделать подстановку . Преобразуя подынтегральное выражение путем подстановки, имеем , так как . В результате получаем формулу интегрирования подстановкой : .
Замечание. Функция выбирается так, чтобы интеграл в правой части равенства был более простым, чем первоначальный.
Сформулируем правило подстановки.
Правило. Чтобы найти интеграл , надо 1) перейти к новой переменной t, связанной с х выражением ; 2) выразить через t все подынтегральное выражение : ; 3) найти новый интеграл: ; 4) в полученном ответе произвести обратную замену на х.
Примеры 1. 2. .
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (509)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |