Свойства линейно зависимой системы векторов
10. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. □ Пусть система, состоящая из одного вектора , линейно зависима. Докажем, что вектор . Из определения линейно зависимой системы следует, что существует такое, что . Так как первый сомножитель в левой части не равен 0, то второй сомножитель должен быть нулевым вектором, т.е. . Пусть, обратно, . Докажем, что система, состоящая из одного вектора , линейно зависима. Левую часть равенства можно записать в виде , следовательно, , т.е. существует такое, что . По определению линейно зависимой системы векторов система линейно зависима. ■ 20. При n>1 система векторов линейно зависиматогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных векторов этой системы. □ Пусть система векторов линейно зависима.Докажем, что один из ее векторов является линейной комбинацией остальных векторов этой системы. По определению линейно зависимой системы векторов существуют числа , не все равные 0 одновременно, такие, что . Пусть для определенности , где к – одно из чисел 1, 2, ...,n. Перенесем все слагаемые, кроме , из левой части равенства в правую и разделим обе части равенства на : . Следовательно, вектор есть линейная комбинация векторов . Пусть теперь один из векторов системы ,например, , является линейной комбинацией векторов .Докажем, что система векторов линейно зависима. По условию . Перенесем в правую часть и поставим это слагаемое между и : . Таким образом, существуют такие числа , не все равные 0 одновременно, что выполняется векторное равенство . Следовательно, система векторов линейно зависима. ■ 30. Если часть данной системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима. □ Пусть дана система векторов и известно, что ее подсистема <n, линейно зависима. Тогда существуют такие числа , причем , что . Тогда , т.е. нашлись числа , причем , следовательно, система линейно зависима. ■ 40. Система линейно независимых векторов не содержит нулевого вектора. □ Пусть система линейно независима. Предположим, что она содержит . По свойству 10 система линейно зависима. Тогда по свойству 30 вся система линейно зависима. Получили противоречие с условием. ■ 50. Если система векторов линейно независима, то любая ее часть линейно независима. □ Предположим, что существует часть данной системы, являющаяся линейно зависимой. Тогда по свойству 30 вся данная система должна быть линейно зависимой. Получили противоречие с условием. ■ 60. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда || . □ Пусть система векторов линейно зависима. Тогда по свойству 20 или , или . По теореме о коллинеарных векторах || . Пусть || . Если один из векторов нулевой, например, , то по свойству 40 система , линейно зависима. Если , то по теореме о коллинеарных векторах . Так как , то система векторов линейно зависима. ■ Аналогично, пользуясь теоремой о компланарных векторах, можно доказать свойство 70. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (985)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |