Задания для самостоятельной работы. 1. Напишите формулы преобразования аффинной системы координат в аффинную систему
1. Напишите формулы преобразования аффинной системы координат в аффинную систему координат , если , , в системе . 2. Может ли матрица перехода от базиса , к базису , иметь вид и почему? 3. Напишите формулы переноса начала, если в системе координат . 4. Напишите формулы замены координатных векторов, если , . 5. Запишите матрицу перехода от базиса , к базису , в случае: а) переноса начала; б) замены координатных векторов.
Понятие направленного угла между векторами. Преобразование прямоугольной системы координат
Понятие направленного угла между векторами вводится на ориентированной плоскости. Пусть и - ненулевые векторы, заданные в определенном порядке ( - первый вектор, - второй вектор). Если || , то направленным углом между вектором и векторомназывается величина , если базис , - правый; величина , если базис , - левый. Если , то направленный угол между ними считается равным , если , то (рис. 42). Направленный угол между вектором и вектором обозначается так: .
На чертеже направленный угол между векторами и показывают дугой со стрелкой, идущей от первого вектора ко второму. Из определения направленного угла между векторами и следует, что он находится в следующих пределах:
Рассмотрим две прямоугольные декартовы системы координат и . Пусть М(х;у) в , в . Так как прямоугольная система координат - частный случай аффинной, то можно пользоваться формулами (5) из §12, но коэффициенты , , , уже не могут быть произвольными. Найдем координаты векторов , в старой системе . Рассмотрим два случая. 1) Базисы , и , одинаково ориентированы (рис. 43).
Пусть направленный угол . Приведем векторы и к общему началу О (рис. 44).
Прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу ( , ), следовательно, и . Из находим: ; . Следовательно, . ; . Следовательно, . Тогда формулы (5) примут вид: ; . (8)
Заметим, что определитель матрицы перехода от базиса , к базису , . 2) Базисы , и , противоположно ориентированы (рис. 45).
Пусть . Приведем векторы и к общему началу О (рис. 46).
Рассуждая аналогично случаю 1), получим: ; ; ; . Следовательно, ; . Тогда формулы (5) примут вид: ; . (9) Заметим, что определитель матрицы перехода от базиса , к базису , в этом случае . Формулы (8) и (9) можно объединить:
. Частные случаи преобразования Прямоугольной системы координат 1. Перенос начала: , .
2. Поворот координатных векторов на угол a: , .
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (576)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |