Различные уравнения прямой
Говорят, что уравнение есть уравнение линии, если выполняются два условия: 1) если точка принадлежит линии , то ее координаты удовлетворяют уравнению ; 2) если координаты точки удовлетворяют уравнению , то . Заметим, что условие 2) можно заменить на эквивалентное ему условие 2*): 2*) если , то ее координаты не удовлетворяют уравнению . Линия на плоскости называется алгебраической, если в какой-либо аффинной системе координат уравнение этой линии можно представить в , где - многочлен от переменных и , т.е. сумма членов вида , . Число называется степенью члена, где . Наивысшая степень членов многочлена называется степенью этого многочлена. Например, степень многочлена равна 7. Порядком алгебраической линии, заданной уравнением , называется степень многочлена . Из школьного курса известно, что прямая линия является линией первого порядка, а окружность, гипербола и парабола – линиями второго порядка. Рассмотрим на плоскости прямую линию. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором. Направляющий вектор прямой будем обозначать через . Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов. Любые два из них коллинеарны (рис. 53). Прямая на плоскости однозначно задается точкой и направляющим вектором или двумя точками. Выведем несколько уравнений прямой на плоскости в аффинной системе координат .
1. Каноническое уравнение прямой. Пусть прямая задана точкой и направляющим вектором (рис. 54). Этот факт будем обозначать так: . Если точка принадлежит прямой , то . Находим координаты вектора . Далее применяем условие коллинеарности двух векторов в координатах (см. § 5, свойство координат векторов 50): , если ; , если ; , если . Если , то || . Следовательно, , если ; , если ; , если .
(если ); (10)
Каждое из уравнений (10), (11) и (12) называется каноническим уравнением прямой на плоскости. В уравнениях (10)-(12) - координаты фиксированной точки прямой ; - координаты направляющего вектора прямой ; - текущие координаты произвольной точки прямой . 2. Параметрическое уравнение прямой. Пусть прямая задана точкой и направляющим вектором . (рис. 54) (по теореме о коллинеарных векторах).
или (13)
Система уравнений (13) называется параметрическим уравнением прямой на плоскости. Действительное число называется параметром. Геометрический смысл параметра состоит в следующем: для любой точки существует единственный параметр , удовлетворяющий уравнениям (13), и обратно, и .
3. Уравнение прямой, заданной двумя точками. Пусть (рис. 55). Тогда в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор , т.е. .
(14)
Уравнение (14) называется уравнением прямой, заданной на плоскости двумя точками и . Заметим, что если или , то применяем частные случаи (11) или (12) канонического уравнения прямой. 4. Уравнение прямой в «отрезках». Пусть прямая пересекает ось аффинной системы координат в точке , ось - в точке , где (рис. 56). Применяя уравнение прямой, заданной двумя точками А и В, получим: ; ; , откуда получаем уравнение: (15) Уравнение (15) называется уравнением прямой «в отрезках». Геометрический смысл а и в в уравнении прямой «в отрезках»: а – это абсцисса точки пересечения прямой с осью , в – ордината точки пересечения прямой с осью аффинной системы координат. 5. Уравнение прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом. Пусть - прямая, не параллельная оси (рис. 57), - направляющий вектор прямой . Так как || , а , то || . Следовательно, || . Поэтому (см. условие коллинеарности векторов в координатах). Число называется угловым коэффициентом прямой . Угловой коэффициент прямой не зависит от выбора направляющего вектора этой прямой (попробуйте доказать это самостоятельно). Замечание. Если прямая задана в прямоугольной системе координат , то имеет простой геометрический смысл: , где - угол наклона прямой к оси , т.е. направленный угол (рис. 58).
Пусть прямая задана точкой и угловым коэффициентом . Запишем каноническое уравнение прямой : и преобразуем его: ; ; учитывая, что , получим: (16) Уравнение (16) называется уравнением прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом.
6. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть - угловой коэффициент прямой . Применяя уравнение (16), получим: , т.е. . (17) Уравнение (17) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В уравнении (17) в – это ордината точки пересечения прямой с осью .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (500)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |