Частные случаи общего уравнения плоскости
Лемма 1 (о параллельности вектора и плоскости). Пусть в аффинной системе координат дана плоскость и вектор . Для того, чтобы вектор был параллелен плоскости , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие . □ Чтобы доказать необходимость и достаточность этого условия, возьмем точку и отложим от нее вектор (рис. 68). Пусть , тогда . Из равенства векторов и следует равенство их соответственных координат: . (24) Так как , то . (25) Если , то , следовательно, . (26) Вычитаем почленно из уравнения (26) уравнение (25): . Применяя формулы (24), получаем: . Обратно, пусть имеет место условие . Тогда из формул (24) следует, что . Сложив почленно последнее уравнение с уравнением (25), получим: , откуда следует, что . Поэтому , а так как , то . ■ Выясним особенности расположения плоскости относительно аффинной системы координат, если некоторые из коэффициентов в ее общем уравнении равны 0. 1. - верное равенство . Обратно, пусть , тогда - верное равенство . Итак, . 2. . Возьмем вектор . Проверим выполнимость условия : ; 0=0. Следовательно, по лемме о параллельности вектора и плоскости . Поэтому возможны два случая или . Учитывая, что , т.е. , получаем: . Обратно, пусть , тогда . По лемме о параллельности вектора и плоскости . Итак, . Рассуждая аналогично, рассмотрите самостоятельно случаи 3 и 4 : 3. . 4. . 5. Пусть и . Тогда из пункта 2 следует, что , т.е. или ; а из пункта 1 следует, что . Значит, . Обратно, пусть . Тогда , т.е. (см. пункт 1). Кроме того, (см. пункт 2). Итак, и . В этом случае уравнение плоскости примет вид . Рассуждая аналогично, рассмотрите самостоятельно случаи 6 и 7: 6. и . 7. и . 8. и . Тогда из пункта 2 следует, что ; а из пункта 3 следует, что . Таким образом, и . В этом случае уравнение примет вид или (где ). Рассуждая аналогично, рассмотрите случаи 9 и 10: 9. и . 10. и . Из пунктов 8 и 1 получаем случай 11. , и . В этом случае уравнение плоскости будет иметь вид , т.е. . Из пунктов 9 и 1 получаем случай 12. , и . Тогда уравнение будет иметь вид , т.е. . Из пунктов 10 и 1 получаем случай 13. , и . Уравнение в этом случае имеет вид , т.е. .
Задания для самостоятельной работы 1. Какие из векторов параллельны плоскости и почему? 2. Справедливы ли утверждения, доказанные в пунктах 1-13, если уравнение плоскости задано в прямоугольной декартовой системе координат и почему? 3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной плоскости: а) ; б) ; в) (пользуясь частными случаями общего уравнения плоскости). 4. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку и содержит: а) ось ; б) ось ; в) ось (пользуясь частными случаями общего уравнения плоскости). Основные аффинные задачи,
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (725)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |