Системы уравнений и неравенств с одним неизвестным
Пример 5. Решить систему уравнений . Решение. Первое уравнение – квадратное, поэтому его корни вычисляются по формуле или x1 = 3, x2 = –1. При решении второго уравнения надо указать вначале его область определения: x ³ 3. Далее, приравняв каждый из множителей нулю и решив получившиеся уравнения, будем иметь x1 = 3, Пример 6. Решить систему неравенств . Решение. Первое неравенство линейное и его множество решений имеет вид (–¥, 2]. Второе неравенство – квадратное, его можно решить методом интервалов. Для этого разложим квадратный трехчлен в произведение: x2 – 5x – 6 = (x + 1)(x – 6). Далее числа x1 = –1 и x2 = 6 (заметим, что это – корни соответствующего уравнения) нанесем на числовую прямую и определим знаки квадратного трехчлена – левой части неравенства в каждом из полученных интервалов. Имеем Заштрихуем те интервалы, в которых квадратный трехчлен имеет нужный нам знак (знак –). (Числа x1 = –1 и x2 = 6 отмечены незакрашенными кружочками, так как неравенство строгое.) Таким образом, множество решений второго неравенства (–1, 6). Чтобы получить решения системы неравенств, найдем пересечение двух множеств: (–¥, 2] Ç (–1, 6) = (–1, 2]. Геометрически это можно изобразить так: Пересечением множеств является множество точек, на котором штриховки накладываются друг на друга. Учитывая рассмотренные примеры 5 и 6, можно сделать один вывод. Множество решений системы уравнений или неравенств представляет собой пересечение множеств решений каждого из уравнений или неравенств, входящих в эту систему. Иногда в процессе решения системы уравнений или неравенств получается некоторая совокупность других систем, к которым приводится данная система. В таких случаях множество решений исходной системы является объединением множеств решений каждой системы, входящей в эту совокупность. Разберем один пример. Пример 7. Решить систему неравенств . Решение. Раскрывая модуль в первом неравенстве системы, получим два случая: 1) при x – 6 ³ 0 и 2) при x – 6 < 0. Принимая во внимание второе неравенство исходной системы, приходим к совокупности двух систем: 1) или 2) . Вначале решим первую систему из этой совокупности. Здесь первое и второе неравенства линейные и имеют решения, соответственно, [6, +¥) и (–¥, 12]. Третье неравенство квадратное. Решая его методом интервалов (так же, как и второе неравенство в примере 6), получаем [6, +¥) Ç (–¥, 12] Ç ((–¥, 5) È (9, +¥)). Найдем пересечение первого и второго множества: [6, +¥) Ç (–¥, 12] = [6, 12]. Используя распределительный закон пересечения относительно объединения (см. § 4), будем иметь [6, 12] Ç ((–¥, 5) È (9, +¥)) = ([6, 12] Ç (–¥, 5)) È ([6, 12] Ç (9, +¥)) = Æ È (9, 12] = (9, 12]. Теперь решим вторую систему из совокупности. Проводя аналогичные рассуждения, как и в первом случае, получим три множества: (–¥, 6), [4, +¥) и (–¥, 5) È (9, +¥). Найдем их пересе-чение: (–¥, 6) Ç [4, +¥) = [4, 6); [4, 6) Ç ((–¥, 5) È (9, +¥)) = ([4, 6) Ç (–¥, 5)) È ([4, 6) Ç (9, +¥)) = Множество решений исходной системы является объединением множеств (9, 12] и [4, 5),
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1231)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |