Термины механики сплошной среды

Теоретические основы аэродинамики

Основные гипотезы механики сплошной среды

Аэродинамика изучает законы равновесия и движения газообразных сред. Газы подчиняется законам, обусловленным сравнительно слабыми связями между молекулами среды, что делает возможным перемещение молекул газа по отношению друг к другу. Во избежание трудностей описания подобных межмолекулярных взаимодействий Д’Аламбером и Эйлером было предложено рассматривать газы как сплошную среду, непрерывно заполняющую пространство и с непрерывно распределенными механическими характеристиками.

Для описания сплошной среды необходимы полные и непротиворечивые модели движения газообразных деформируемых тел, основанные на методах теоретической механики и некоторых дополнительных гипотезах. Согласованная система таких моделей носит название механики сплошной среды.

Все тела состоят из множества отдельных элементарных частиц, взаимодействующих сложным образом в электромагнитном и гравитационном полях. Существуют предположения и о других, пока неизвестных полях. Поэтому изучение материальных тел как совокупности элементарных частиц требует введения дополнительных гипотез об их свойствах и взаимодействиях. Кроме того, для решения уравнений динамики необходимо знать начальные условия, т.е. координаты и скорости всех частиц, что принципиально невозможно. Однако для решения практических задач совсем не обязательно знать движение каждой частицы – достаточно определить некоторые осредненные характеристики. Такой научный подход применяется на основе вероятностного описания и использования законов распределения и называется статистическим.

Механика сплошной среды использует другой подход – феноменологический, основанный на эмпирических гипотезах, подтвержденных человеческим опытом.

1) Гипотеза сплошности, предложенная Бернулли, постулирует тело как непрерывную среду, заполняющую некоторый объем, и необходима для применения математического аппарата дифференциального и интегрального исчисления.

2) Гипотезу непрерывности метрического пространства, тесно связанную с предыдущей, вводят для определения координат и расстояний.

3) Следующая гипотеза предполагает возможность введения единойдля всех точек пространства ортогональной системы координат. Эта гипотеза позволяет применять аппарат аналитической геометрии.

4) В механике сплошной среды постулируется абсолютность времени для всех систем отсчета, т.е. не учитываются эффекты теории относительности.

Эти гипотезы естественны с точки зрения человеческого опыта и вполне оправданы при исследовании явлений, происходящих в не слишком больших и не слишком малых объемах с небольшими скоростями – в макромире. Исходя из них, строятся все последующие положения и выводы теории.

В газах могут действовать различные силы, разделяемые в зависимости от способа приложения на объемные и поверхностные. К объемным силам относят те силы, которые приложены ко всем частицам данного объема (например, силы тяжести и инерции, электродинамические и электромагнитные силы). Поверхностные силы прилагаются только к частицам, расположенным на поверхности объема газа (например, силы давления и трения).

Термины механики сплошной среды

Скорость движения сплошной среды будем рассматривать как поле вектора в каждой точке пространства, задаваемой радиус-вектором этой точки с координатами x, y, z, в каждый момент времени t:

(1.1)

или по координатам:

(1.2)

Очевидный смысл этих уравнений заключается в том, что скорость определяется, как производная по времени от функции местоположения частицы среды (x,y,z,t).

Решение уравнения (1.1) или (1.2), определяет траектории движения частицы.

Если поле вектора скорости сплошной среды не зависит от времени в каждой точке пространства , то движение называетсястационарным или установившимся. В общем случае и движение называется нестационарным или неустановившимся.

Линиями тока в механике сплошной среды называются линии, которые в каждый фиксированный момент времени имеют в каждой своей точке касательные, совпадающие с вектором скорости. Таким образом, частицы среды, попавшие на линию тока, не имеют составляющей скорости поперек нее и не могут ее пересечь. Линии тока необходимы для получения в теории математически строгих выводов. На практике линии тока в прозрачной жидкости с взвешенными частицами нерастворимой краски можно зафиксировать фотографированием с маленькой выдержкой – короткие следы этих частиц, сливаясь, вырисовывают линии тока. Уравнение линии тока в момент времени t запишется в терминах аналитической геометрии, как условие коллинеарности векторов:

(1.3)

Таким образом, картина линий тока в нестационарном движении все время меняется. При установившемся движении отсутствие в уравнении (1.3) времени t приводит к совпадению линий тока с траекториями частиц.

Трубчатая поверхность, образованная линиями тока, проходящими через некоторую замкнутую кривую, называется трубкой тока. Частицы сплошной среды не пересекают стенок трубки тока, не имея нормальных к ним составляющих скорости.

Если компоненты вектора скорости не обращаются в нуль и вместе со своими первыми производными однозначны и не имеют разрывов, то решение уравнения (1.3) существует и единственно. В противоположном случае существование или единственность может нарушаться, т.е. в некоторых точках пространства линии тока могут ветвиться или вырождаться в точку. Такие точки называются особыми или критическими.

Напомним некоторые математические термины применительно к скорости, заданной в пространстве – полю скоростей.

Вектором будем обозначать поверхность с указанным направлением нормали , выражающимся через единичные векторы осей координат: , а скаляром S – только площадь этой поверхности.

Потоком скорости через поверхность с заданным вектором нормали называется поверхностный интеграл

(1.4)

где V_n обозначает проекцию скорости на единичный вектор нормали к поверхности . Поток скорости представляет собой расход газа через поверхность S.

Градиентом называется векторная функция скаляра:

. (1.5)

Градиент представляет собой вектор, определяющий направление и величину быстроты изменения поля величины А.

Дивергенция скорости определяется формулой:

(1.6)

и представляет собой среднюю мощность источников и стоков газа в окрестности точки (x,y,z).

Ротор скорости (вихрь) определяется формулой:

, (1.7)

и представляет собой удвоенную угловую скорость вращения газа в данной точке.

Циркуляцией скорости по замкнутому контуру L с определенным направлением обхода называется криволинейный интеграл:

(1.8)

являющийся работой силы при перемещении жидкой частицы по контуру L.