Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Уравнение движения сплошной среды



2015-12-04 1006 Обсуждений (0)
Уравнение движения сплошной среды 0.00 из 5.00 0 оценок




В теоретической механике известно уравнение количества движения материальной точки:

,

где в правой части равенства стоит сумма всех действующих на нее сил. Обобщим это уравнение на конечный объем сплошной среды, состоящей из частиц, как системы материальных точек, подверженных действию объемных и поверхностных сил:

(1.13)

Первый член левой части этого уравнения представляет собой отнесенное к единичному объему изменение количества движения в этом объеме за единицу времени, второй член - отнесенное к единичному объему изменение количества движения за счет конвекции в этом объеме за единицу времени.

Первый член правой части есть отнесенная к единице объема массовая сила, второй член – отнесенные к единице объема поверхностные силы.

Используя уравнение неразрывности получаем следующее:

(1.14)

Для ньютоновских жидкостей напряжение на некоторой площадке пропорционально скорости деформации сплошной среды (жидкости). При этом связь между давлением, скоростью деформации и компонентами тензора напряжений имеет вид:

(1.15)

где δi,j – символ Кронекера (δi,j = 1, если i=j, и δi,j = 0, если i≠j), u1, u2, u3 – компоненты вектора скорости , x1, x2, x3 –координаты радиус-вектора точки, μ – коэффициент динамической вязкости, μ’ – второй коэффициент вязкости, связанный с объемной вязкостью .

Обычно объемной вязкостью пренебрегаю (кроме случаев рассмотрения распространения ударных, акустических волн), тогда выражение для тензора напряжений можно записать в виде:

(1.16)

Тензор напряжений разделяют на две части:

, (1.17)

где первое слагаемой в правой части – компоненты нормальных напряжений, а второе – касательных или вязких:

(1.18)

Течение несжимаемой вязкой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости описывается следующим уравнением:

. (1.19)

Или

(1.20)

В проекции на декартову систему координат имеем три скалярных уравнения:

(1.21)

Выделив в уравнениях компоненты тензора вязких напряжений, получим:

(1.22)

где компоненты тензора имеют вид:

(1.23)

 

Применение первого закона термодинамики к жидкости, протекающей через бесконечно малый объем приводит к следующему уравнению энергии:

, (1.24)

где Et – полная энергия единицы объема.

Первый член в левой части уравнения есть изменение полной энергии контрольного объема в единицу времени, второй – изменение полной энергии за счет конвекции через поверхность, ограничивающую контрольный объем, в единицу времени. Первый член в правой части – скорость тепловыделения внешних источников, отнесенная к единице объема; второй член – теплопотери за счет теплопроводности через контрольную поверхность в единицу времени; третий член – отнесенная к единице объема работа массовых сил над контрольным объемом; четвертый член – отнесенная к единице объема работа поверхностных сил над контрольным объемом.

Последние два слагаемых правой части можно заменить диссипативной функцией Ф, являющейся тепловым эквивалентом механической мощности, затрачиваемой на вязкую деформацию жидкости.

(1.25)

В декартовой системе координат диссипативная функция принимает вид:

(1.26)

Введем величину энтальпии и получим:

(1.27)

Используя закон Фурье для переноса энергии за счет теплопроводности:

, (1.28)

получаем:

(1.29)

Таким образом полную термодинамическую систему массообмена в газе составляют три уравнения: неразрывности, Навье-Стокса и энергии.

 

Виды сплошной среды

Экспериментальные данные показывают, что большинство сред обладает специфическим свойством: отсутствием или малостью касательных напряжений pSt, т.е. вектор S можно считать перпендикулярным любой площадке взаимодействия dS и равным нормальному напряжению pSn. Среду, обладающую таким свойством называют идеальной жидкостью или идеальным газом. Близки к таковым обычные воздух и вода при малых скоростях.

Понятно, что идеальная жидкость не единственно возможная модель сплошной среды, позволяющая определить компоненты тензора внутренних напряжений. Можно, например, рассматривать его компоненты как функции от деформации частицы: в этом случае среда называется упругой. В частном случае линейности это соотношение приобретает вид закона Гука. Изучением таких сред занимается теория упругости.

Особое место в механике сплошной среды занимает модель вязкой жидкости, предполагающая связь тензора внутренних напряжений с частными производными скорости по координатам. Имеется в виду эффект "трения" слоев вязкой жидкости между собой при наличии разности их поступательных скоростей. В частном случае линейности связь представляется в виде закона Навье-Стокса (или обобщенного закона вязкости Ньютона).

В теории вязкой жидкости m называется коэффициентом внутреннего трения или динамическим коэффициентом вязкости, кинематическим коэффициентом вязкости (коэффициен­том линейной вязкости), вторым коэффициентом вязкости (коэффициентом объемной вязкости). Размерность m, l и z в СИ: .

Нетрудно видеть, что упомянутые модели для идеальной и вязкой жидкости вводят еще одну неизвестную давление p. Т.е. для замыкания системы уравнений движения сплошной среды оказывается необходимым еще одно скалярное соотношение. В этом качестве чаще всего применяются уравнения, представляющие различные гипотезы связи плотности и давления:

.

Если такое соотношение можно ввести, то жидкость называется баротропной. Выделяются следующие частные случаи.

1. – случай несжимаемой жидкости, или .

2. , где C постоянная, – случай изотермического процесса.

3. , где C и n – постоянные, – случай политропического процесса, n называется показателем политропы.

4. – уравнение Клапейрона-Менделеева для совершенного газа, где универсальная газовая постоянная, – масса вещества в кг, численно равная молекулярному весу, T – абсолютная температура, которую необходимо задавать еще одним дополнительным соотношением.



2015-12-04 1006 Обсуждений (0)
Уравнение движения сплошной среды 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: Уравнение движения сплошной среды

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ...
Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1006)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.009 сек.)