Указания к решению задачи №2

Таблица 1. Данные к решению задачи 1

 

№ вар

XА

YА

ZА

XВ

YВ

ZВ

XС

YС

ZС

XД

YД

ZД

XЕ

YЕ

ZЕ

XК

YК

ZК

 

Указания к решению задачи №1.

В левой половине листа намечают оси координат, и по координатам точек А, В, С, Д, Е, К из таблицы 1 строят проекции двух треугольников АВС и ДЕК. Находят линию пересечения треугольников, определяют их видимость. В правой части листа методом плоско - параллельного перемещения, а затем методом вращения, определяют натуральную величину треугольника АВС. Затем в нем показывают положение линии пересечения в натуральную величину.

Задача 1. Последовательность решения:

 

1. Строим проекции треугольников по заданным координатам точек.

2. Берем проецирующую плоскость по стороне треугольника кdе - Q_H и, отмечаем точки 1 и 2 в треугольнике аbс, находим вторые проекции данных точек на фронтальной плоскости проекций: 1^/ на стороне а^/-b^/ и 2^/ на стороне а^/-с^/ (незабывая о том, что проекции точек находятся на одной линии связи перпендикулярной к оси ОХ).

3. Соединяем между собой построенные точки и продолжаем линию 1^/-2^/ до пересечения с стороной e^/-d^/ ,так как по данной стороне брали проецирующую плоскость - получим первую точку будущей линии пересечения треугольников – f^/, находим ее вторую проекцию на горизонтальной плоскости Н – точка f на e-d.

4. Вторую проецирующую плоскость P_v берем по стороне d^/-k^/, отмечаем точки пересечения с сторонами треугольника а^/ b^/ с^/: точку 3^/ на стороне а^/-b^/ и точку 4^/ на стороне а^/-с^/. Находим вторые проекции данных точек на горизонтальной плоскости проекций (точку 3 на а-b и точку 4 на стороне а-с).

5. Соединяем полученные точки 3-4 прямой линией и отмечаем точку пересечения полученной прямой с стороной d-k, так как по данной стороне брали проецирующую плоскость- получим точку n – это вторая точка линии пересечения треугольников. Находим вторую проекцию точки n – n^/ на стороне d^/-k^/.

6. На фронтальной плоскости проекций соединяем точки f^/ и n^/ , на горизонтальной плоскости проекций соединяем точки f и n, т.е. строим проекции линии пересечения треугольников АВС и KDE. Отмечаем точку m и m^/ при пересечении стороны а-b и а^/-b^/, сооттветственно линии m^/- n^/ и m^/- n^/ и есть линии пересечения треугольников, т.к. линия должна находиться внутри наложения треугольников.

7. Определяем видимость треугольников, относительно друг друга, методом конкурирующих точек. Для этого на фронтальной плоскости проекций берем любую общую точку, принадлежащую обоим треугольникам, например, точку 3^/, она принадлежит стороне а^/-b^/ и принадлежит стороне d^/-k^/. Теперь мысленно находим проекции этой точки на горизонтальной плоскости проекций: та прямая с точкой 3, которая встретится первой, т.е. будет ближе к оси ОХ, на фронтальной плоскости проекций будет невидимой. В данном примере это точка 3 на стороне а-b, следовательно, сторона а^/-b^/ от точки 3^/ до точки m^/ будет невидимой, после точки m^/ сторона а^/-b^/ будет видимой. Сторона d^/-k^/ от точки 3^/ до точки n^/ будет видимой, после точки n^/ станет невидимой до точки 4^/. Дальше отрезок 4^/-2^/ будет видимым, а сторона е^/-к^/ под вершиной m^/-а^/-4^/ будет невидимой.

8. Аналогично определяется видимость на горизонтальной плоскости проекций. Допустим, возьмем общую точку 1 для сторон а-b и е-d, мысленно находим их на фронтальных проекциях данных сторон, определяя которая из них будет ближе к оси ОХ, та и будет невидимой на горизонтальной плоскости проекций. Первой встречается а-в, следовательно отрезок 1- m будет невидимым. Затем пойдет чередование видимых и невидимых частей (см. чертеж).

9. Строим натуральную величину треугольника АВС. Для этого необходимо расположить треугольник таким образом, чтобы его спроецировать в прямую линию, тогда его можно будет развернуть до положения параллельного одной из плоскостей проекций и спроецировать на нее в натуральную величину. Строим на фронтальной плоскости проекций линию с^/ - 5^/ (ФПГ), находим вторую проекцию точки 5 и строим линию с-5 (ГПГ). Затем методом плоско параллельного переноса разворачиваем треугольник на горизонтальной плоскости проекций так, чтобы линия с-5 была перпендикулярна к оси ОХ.

10. Строим фронтальную проекцию треугольника (в виде прямой b₁^/-c₁^/-a₁^/), с помощью метода вращения разворачиваем ее до положения параллельного оси ОХ и достраиваем натуральную величину треугольника АВС. Показываем на чертеже истинное положение линии пересечения треугольников.

Задача 2.

Построить проекции прямой призмы, основанием которой является треугольник АВС. Боковые ребра призмы строят длиной Н = 70 мм. Данные берут из таблицы 1.

Указания к решению задачи №2.

Согласно варианта, по координатам точек А, В и С строят их проекции, которые определяют треугольник АВС. В одной из точек к плоскости треугольника АВС восстанавливают перпендикуляр произвольной длины. Далее на построенном перпендикуляре от вершины треугольника откладывается длина Н – равная по условию высоте призмы. После чего строят верхнее основание призмы и определяют видимость чертежа. Видимые ребра показывают сплошными толстыми линиями, невидимые – штриховыми линиями. Все необходимые построения выполняются четкими линиями толщиной равной ¼ толщины контурных линий.

Задача 2 Последовательность решения:

1. По заданным координатам в задаче 1 построить проекции треугольника АВС.

2. Для того чтобы построить горизонтальные проекции перпендикуляров, исходящих из вершин горизонтальной проекции треугольника abc , необходимо построить горизонталь, для этого на фронтальной плоскости проекций из точки с^/ проводим линию параллельно оси ОХ, получим точку 1^/ (линия с^/-1^/ есть фронтальная проекция горизонтали - ФПГ).

3. Находим горизонтальную проекцию - точку 1 и соединяем ее с вершиной с, получим ГПГ или горизонтальную проекцию горизонтали (1-с). Из каждой вершины треугольника abc проводим перпендикуляры к данной линии 1-с, заводя линию за точку в ту и в другую стороны.

4. Для того чтобы построить фронтальные проекции перпендикуляров, исходящих из вершин фронтальной проекции треугольника a^/ b^/ c^/ , необходимо построить фронталь, для этого на горизонтальной плоскости проекций в треугольнике abc из точки 1 проводим линию параллельно оси ОХ, получим точку 2 (линия 1-2 есть горизонтальная проекция фронтали – ГПФ)

5. Находим фронтальную проекцию - точку 2^/ и соединяем ее с точкой 1^/, получим ФПФ или фронтальную проекцию фронтали (1^/-2^/). Из каждой вершины треугольника а^/ b^/ с^/ проводим перпендикуляры к данной линии 1^/-2^/, заводя линию за точку в ту и в другую стороны.

6. По условию задачи высота пирамиды h=70мм. Так как нам даны проекции треугольника общего положения, то, следовательно, необходимо найти истинные величины ребер пирамиды, для нахождения воспользуемся методом прямоугольного треугольника. Возьмем точку е^/ (произвольно) на луче, исходящем из точки а^/, найдем вторую проекцию – точку е. Из точки е восстанавливаем перпендикуляр к лучу а-е и на нем откладываем отрезок равный разнице по высоте между точками а^/ и е^/,т.е. (Zа – Zе) получим точку е₀. Данную точку е₀ соединяем с точкой а и получаем натуральную величину ребра, на ней откладываем от точки а длину ребра = 70 мм, отмечаем точку m₀. Находим точку m, для этого проводим линию m-m₀ параллельно е-е₀ (или перпендикулярно к лучу а-е). Луч a-m есть горизонтальная проекция ребра. Из вершин треугольника (в и с) откладываем отрезки b-n и c-p, равные a-m. Полученные точки a m p соединяем между собой, достраивая второе основание призмы.

7. Находим вторые проекции каждой точки - a^/ m^/ p^/ , перенося их на соответствующие лучи, и соединяем их между собой – построили фронтальную проекцию призмы.

8. Определяем видимость ребер на обеих проекциях: на фронтальной проекции есть пересечение ребер m^/-p^/ и b^/-n^/ в точке 3^/. Мысленно находим проекции этой точки на горизонтальных проекциях m-p и b-n, затем определяем какое ребро с данной точкой встречается первым (это ребро b-n) , тогда на фронтальной плоскости проекции оно будет невидимым. Аналогично определяем видимость на горизонтальной плоскости проекций. Для этого берем точку 4 на пересечении ребер a-c и m-n и мысленно находим их на фронтальных проекциях a^/-c^/ и m^/-n^/, так как ребро a^/-c^/ с данной точкой встречается первым, т.е. находится ближе к оси ОХ, то на горизонтальной плоскости проекций оно будет невидимым (ребро а-с).

 

При выполнении данной работы желательно точку е^/ брать таким образом, чтобы не было наложения проекций пирамиды друг на друга. В некоторых вариантах этого не избежать.

Помним также, что проекции одноименных точек лежат на одной линии связи перпендикулярной к оси ОХ.

 

Задача 3.

Построить линию пересечения пирамиды ДАВС с прямой призмой ЕКGU. Данные для решения задачи даны в таблице 2.

 

Таблица 2. Данные к решению задачи 3

 

№ вар

XA

YA

ZA

XB

YB

ZB

XC

YC

ZC

XD

YD

ZD

XE

YE

XK

YK

XG

YG

XU

YU

h

Указания к решению задачи 3.

Согласно своего варианта по координатам строим вершины пирамиды ДАВС и нижнее основание прямой призмы ЕКGU. Основание призмы расположено на горизонтальной плоскости проекций. По указанной высоте Н строится окончательно фронтальная проекция призмы. Для нахождения линии пересечения пирамиды и призмы необходимо определить точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы и далее определить точки пересечения вертикальных ребер призмы с гранями пирамиды. По построенным точкам строят ломаную линию (или линии), которая определяет искомую линию пересечения двух многогранников. При построении ломаной линии нужно быть очень внимательным в порядке соединения соседних точек. Соединять пары точек можно только на одних и тех же гранях. Далее определяют видимость ребер многогранников и видимость их линии пересечения. Все вспомогательные построения показывают на чертеже.

 

ЗАДАЧА 3 Последовательность решения:

1. Строим проекции пирамиды и призмы.

2. На горизонтальной плоскости проекций Н отмечаем характерные точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы (1, 2, 3, 4, 5, 7)

3. Находим фронтальные проекции данных точек на соответствующих ребрах пирамиды (1^/ , 2^/, 3^/, 4^/, 5^/, 7^/). Например, точки 7 и 2 лежат на ребре b-d,то и точки 7^/ и 2^/ строим на ребре b^/- d^/_.

4. Определяем какие ребра призмы проходят через “тело пирамиды” (ребро Е) на плоскости Н.

5. Проводим вспомогательную пряму из точки d через точку e и находим две вспомогательные точки: одна на ребре b-c, вторая на ребре b-a_. В точке e отмечаем точки 6, 8.

6. Строим вторые проекции вспомогательных точек на b^/- c^/ и b^/- a^/, соединяем эти точки с вершиной d^/, при прохождении через призму они пересекут ребро e^/ , отмечаем точки 6^/, 8^/

7. Соединяем между собой точки, лежащие на одной грани пирамиды, например: b^/ c^/ d^/ - точки 2^/, 3^/, 5^/, 7^/ ; a^/ c^/ d^/ – точки1^/, 3^/, 4^/, 5^/; a^/ b^/ d^/ – точки1^/, 2^/, 4^/, 7^/; a^/ b^/ c^/ – точек нет. Точки соединяем, перемещаясь вдоль граней призмы (смотрим на плоскости Н): в b^/ c^/ d^/ - точки 2^/ – 3^/, 5^/-6^/-7^/ ; a^/ c^/ d^/ – точки1^/ – 3^/, 4^/ – 5^/; a^/ b^/ d^/ – точки1^/ - 2^/, 4^/ -8^/ - 7^/; соединяли по граням g-u , k-e и e -u_.

8. Определяем видимость линии пересечения: если грань пирамиды и грань призмы видимые, то и линиия их взаимного пересечения будет видимой, если хотябы одна из граней фигур будет невидимой, то и линия будет невидимой. В данном случае грань a^/ b^/ d^/ невидимая, соответственно и линии на ней невидимые. Грань k^/-e^/ тоже невидимая, следовательно линия 6^/-7^/ – невидимая.

9. Видимость ребер пирамиды и призмы определяется из видимости грани с которой пересекается ребро. Если ребро пересекает видимую грань, то оно будет видимым, если ребро пересекает невидимую грань, то, соответственно, ребро будет невидимым. Например, ребро b^/ -d^/ пересекает грань к^/ - е^/ в точке 1^/ и пересекает грань u^/ - g^/ в точке 6^/, так как грань к^/ - е^/ невидимая, то ребро в^/ -1^/ будет невидимым за призмой (до призмы будет видимым) и часть ребра 6^/ - d^/ будет видимой так как грань u^/ - g^/ видимая.

Задача 4.

Построить развертки пересекающихся многогранников – призмы и пирамиды. Показать на развертках линию их пересечения. Условие взять из задачи №3.

 

Указания к решению задачи №4.

Развертку призмы выполняют на отдельном листе бумаги. Все ребра должны быть обозначены теми же символами, что и на проекционном чертеже. Для построения развертки пирамиды необходимо предварительно в задаче №3 показать построение истинных длин всех ребер пирамиды. Далее методом засечек истинными длинами ребер строят истинные размеры треугольников, образующих боковую поверхность пирамиды, последовательно достраивая их друг к другу. На развертках пирамиды и призмы показываем линию их пересечения.

 

Задача 4 Построить развертки пирамиды и призмы и нанести на развертки линию их взаимного пересечения

1. Развертку призмы выполняем прямо с чертежа задачи 3. Так как призма прямая, то на горизонтальную плоскость проекций ее основание проецируется без искажения, следовательно, длины боковых граней будем измерять по проекции основания призмы. Высота боковых граней равна высоте призмы на фронтальной плоскости проекций и положение точек линии пересечения по высоте также измеряется на фронтальной плоскости проекций.

2. Строим развертку призмы. Проводим горизонтальную линию и на ней откладываем точку k. Затем, последовательно измеряя длины граней, пристраиваем их друг к другу, т.е. k-e , затем e-u , потом u-g и g-k. Из каждой точки поднимаем высоту призмы и соединяем полученные точки до прямоугольника, получили развертку боковой поверхности призмы.

3. Наносим линию пересечения. Для этого определяем положение точек линии пересечения на гранях. Например, измеряем расстояние от точки k до точки1 на горизонтальной проекции и откладываем это расстояние на развертке грани k-e от точки k, затем поднимаемся на высоту точки 1, измеряя ее на фронтальной проекции призмы от основания до точки 1^/(измерять надо обязательно перпендикулярно к основанию призмы). Откладываем точки е₁ и е₂ на ребре е . Достраиваем все точки и соединяем их в той же последовательности, что и на чертеже задачи3. На грани u-g соединяем точки 4-5-6, а на гранях k-e и e-u последовательно соединяем точки 1-е₁-3-2-е₂-1.

4. Для построения развертки пирамиды необходимо найти натуральные величины ребер пирамиды. Рассмотрим ребро с^/ -d^/ оно расположено параллельно оси ОХ, следовательно, горизонтальная проекция ребра с-d есть истинная величина. Натуральную величину ребер a-b и b-c находим методом вращения, для этого разворачиваем их относительно точки b до положения параллельного оси ОХ на горизонтальной плоскости проекций, точки а и с займут новое положение а₁ и с₁. Из полученных точек поднимаем линии связи до пересечения с линиями связи, исходящими из точек а^/ и с^/ (линии перемещаются параллельно оси ОХ). Полученные точки а₁^/ и с₁^/ соединяем с точкой b^/ получим истинные величины ребер.

5. Натуральную величину ребра а-с находим методом прямоугольного треугольника. Из точки с на горизонтальной плоскости проекций проводим перпендикуляр к ребру а-с и от точки с откладываем разницу координат Z_а- Z_с = Z_а-с. Отмечаем точку с₂ и соединяем ее с точкой а получим истинную величину ребра АС. Аналогично находим натуральные величины ребер a-d и d-b. На фронтальной плоскости проекций из точки d^/ восстанавливаем перпендикуляр к ребру d^/-b^/ и откладываем на нем от точки d^/ разницу координат Y_b – Y_d = dY₁ , отмечаем точку d₁^/ , соединяем с точкой b^/, получим натуральную величину ребра BD. Таким же способом находим истинную величину ребра АD, только разницу координат берем между точками a и d: Y_a - Y_d =d Y₂

6. Фиксируем точки е₁^/ и е₂^/ через пересекающиеся линии. Продлеваем линию 3^/-е₁^/ до пересечения со стороной b^/-c^/ , так как точка е₁^/ принадлежит грани b^/c^/d^/, отмечаем точку 9^/. Тогда точка е₁^/ будет лежать на пересечении линий 1^/-7^/ и 3^/-9^/. Для точки е₂^/ продлеваем линию 2^/-е₂^/ и отмечаем точку 10^/ на ребре a^/-b^/. Все точки находим на натуральных величинах ребер.

7. Построив все натуральные величины ребер пирамиды, последовательно выстраиваем ее развертку. Отмечаем точку d, произвольно, и строим прямую на которой откладываем отрезок d-c, затем методом засечек строим точку в: для этого радиусом равным с-в из точки с проводим дугу и из точи d радиусом d-c проводим дугу. Место пересечения дуг отмечаем точкой в.Так последовательно достраиваем все боковые грани пирамиды и ее основание.

8. На построенные ребра развертки пирамиды наносим точки и соединяем их между собой так же как они соединены в задаче 3.

Задача №5.

Построить пересечение сферы с призматическим отверстием. Решение задачи показать в трех проекциях. Данные берут из таблицы 3.

 

Таблица 3

№ вар

XО

YО

ZО

XА

ZА

XВ

ZВ

XС

ZС

XД

ZД

R

 

Указания к решению задачи №5.

Вырожденная фронтальная проекция сквозного отверстия представлена четырехугольником АВСД. Задача сводится к построению линии пересечения граней четырехугольника АВСД с поверхностью сферы. В сечении плоскости со сферой всегда получается окружность, которая может проецироваться или в окружность, или в эллипс, в зависимости от положения ее плоскости по отношению к плоскости проекций. Обратить особое внимание к нахождению точек кривых, определяющих границы видимости кривых и точки касания эллипсов с очерковыми окружностями сферы.

 

Задача 5. Принцип решения:

1. По координатам находим центры сферы на трех проекциях и заданным радиусом R достраиваем проекции сферы. По координатам точек выстраиваем на фронтальной плоскости проекций контур призматического отверстия а^/-b^/-c^/-d^/.

2. Отмечаем характерные точки пересечения очерковых образующих двух фигур – это точки 1^/ и 7^/. Далее, отмечаем точки пересечения призмы с осями сферы – точки 3^/, 4^/, 5^/ и 6^/ . Точку 2^/ берем произвольно для более точного построения кривой. Можно было также отметить дополнительную точку между точками 3^/ и 4^/ . Грани призмы, расположенные параллельно соответствующей плоскости проекций, спроецируются на нее в виде окружности, а наклонные грани будут представлены в виде эллипса для построения которого и требуются дополнительные точки.

3. Строим проекции точек на горизонтальной плоскости проекций: точки 1 и 7 будут лежать на оси (на экваторе), так как они лежат на очерковой образующей сферы. Точки 3 и 4 ,наоборот, будут лежать на очерковой образующей, так как на фронтальной плоскости проекций они лежат на горизонтальной оси (на экваторе). Так как отверстие сквозное, то точки будут дублироваться. Остальные точки находим с помощью вспомогательных проецирующих плоскостей, которые строятся через точки призмы параллельно горизонтальной плоскости проекций (// оси ОХ). Радиус для точки замеряется от вертикальной оси сферы до ее очерковой образующей, смотри R₂. На горизонтальной плоскости проекций выстраиваем вспомогательную окружность (проекцию секущей плоскости) и сбрасываем на нее точки. Так выстраиваем точки: 2, 4, b, c, d и 6.

4. Построенные точки соединяем между собой в той же последовательности как они обозначены на контуре призматического отверстия, т.е. 1-2-3-4-b-c-5-d-6-7. Определяем видимость линии пересечения. Сначала удаляем часть очерковой образующей сферы от точки 3 до точки 5, так как на фронтальной плоскости проекций горизонтальная ось (экватор сферы) попадает в призматическое отверстие (участок 3^/-5^/). Смотрим сверху на сферу: все точки, расположенные над горизонтальной осью сферы (на фронтальной плоскости проекций), будут видимыми, под осью сферы – невидимыми. Соответственно, линия 3-4-b-c-5 будет видимой, но, и часть линии 5-d-6-7 тоже будет видимой, так как она выступает за контур линии 3-4-b-c-5 (точки d-6-7 лежат на большем радиусе, чем точки b-c).

5. На профильной плоскости проекций точки строят таким же способом, только вспомогательные плоскости проводят параллельно профильной плоскости проекций (или // оси OZ). При определении видимости на сферу смотрят слева (на фронтальной плоскости проекций): точки лежащие до вертикальной оси будут видимые, а за ней –невидимые. Вспомогательные окружности строят из центра сферы О^//.

Задача №6.

Построить линию пересечения конической поверхности секущей плоскостью АВС общего положения. Данные к задаче в таблице 4.

 

Таблица 4Данные к задаче №6

 

№ вар

XО

YО

XS

YS

ZS

XА

YА

ZА

XВ

YВ

ZВ

XС

YС

ZС

R

 

Указания к решению задачи №6.

По координатам точек, взятым из таблицы 4, строят проекции конуса заданной высоты Н и радиуса R. Секущая плоскость задана точками А, В, С. В решении задачи целесообразно использовать метод замены плоскостей проекций. Дополнительная плоскость проекций выбирается таким образом, чтобы она была перпендикулярна секущей плоскости АВС, или перпендикулярна плоскости основания конуса. Линия сечения проецируется на новую плоскость в этом случае в виде прямой линии, совпадающей со следом секущей плоскости. Далее, используя образующие конуса, строят проекции сечения в первоначальной системе плоскостей проекций. Все вспомогательные построения следует показать тонкими сплошными линиями.

 

Задача 6. Принцип решения:

1. По заданным координатам строим проекции конуса и плоскости АВС.

2. Методом перемены плоскостей проекций строим новую плоскость V₁ и новую ось ОХ₁, которая будет расположена перпендикулярно к прямой а-в, если на фронтальной плоскости проекций точки а и в расположены на одной высоте. В случае, если все три точки лежат на разных высотах, то необходимо построить горизонталь. И в этом случае новая ось строится перпендикулярно к горизонтали (ГПГ).

3. По правилам проецирования строим новую проекцию конуса и плоскости АВС. Например, из точки О проводим линию связи к новой оси ОХ₁(перпендикулярно), так как координата Z_О =0, то точка О₁^/ будет лежать на новой оси. Плоскость должна спроецироваться в виде прямой.

4. Далее, отмечаем точки пересечения плоскости с образующими конуса, т.е точки 1₁^/ и 2₁^/. Определяем границы видимости: для фронтальной плоскости проекций это крайние образующие f^/-s^/ и e^/-s^/ , находим вторые проекции точек f и e и сбрасываем их на новую плоскость проекций (на основание конуса) затем соединяем их с вершиной s₁^/ и отмечаем точки 3₁^/ и 4₁^/. Определяем границы видимости на горизонтальной плоскости проекций – это образуюшие d-s и n-s. Строим их проекции на новой плоскости проекций и отмечаем точки 5₁^/ и 6₁^/.

5. Строим образующие на горизонтальной плоскости проекций, последовательно соединяя точки на основании n, e, k, d, f, с вершиной s, и находим на них соответствующие токи. Не забываем, что точки с одной проекции образующей на другую проекцию образующей переносятся перпендикулярно к новой оси ОХ₁. Полученные точки соединяем между собой в той же последовательности как они обозначены на прямой a₁^/-b₁^/-c₁^/, т.е. 2-4-6-1-3-5-2. Определяем видимость кривой: до точки 6 на d-s и до точки 5 на n-s линия будет видимой, за точками 6 и 5 линия будет невидимой.

6. Строим образующие на фронтальной плоскости проекций, находим точки и соединяем их между собой 2^/-4^/-6^/-1^/-3^/-5^/-2^/. Види