Обработка результатов измерений
Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину Х. В результате проведенных измерений мы получили значений величины: x1, x2, x3, ... xn. (2) Этот ряд значений величины Х получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx . В таком случае мы можем записать результат измерений в виде
µ = ± Δx (3)
Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом. Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде l = (8.34 ± 0.02) мм, (P = 0.95) Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм . Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P. Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики. В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой , (4) где Δx – отклонение от величины истинного значения; σ – истинная среднеквадратичная ошибка; σ 2– дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин. Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при x = 0 , кроме того, она является четной. На рис.1 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx1 и Δx2 (заштрихованная площадь на рис.1) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx1,Δx2)
Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2) (5) где – n число измерений. Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению μ измеряемой величины при n → ∞. Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина . (6)
Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n→∞ S стремится к постоянному пределу . (7)
С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений. Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина
(8)
Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений. Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде:
, (9)
Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз. В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него. Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом Стьюдента ts. Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что
. (10)
где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности;
Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице 1.
Таблица 1
Из сказанного следует: · Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического. · При n → ∞ → 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение μ, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. · Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. При расчете точечных оценок результатов прямых измерений необходимо соблюдать следующий порядок действий: · Результат каждого измерения запишите в таблицу. · Вычислите среднее значение из n измерений
(11)
· Найдите погрешность отдельного измерения
. (12)
· Вычислите квадраты погрешностей отдельных измерений
(Δx 1)2, (Δx 2)2, ... , (Δx n)2. (13)
· Определить среднюю квадратичную ошибку (СКО) отдельного результата измерения называется величина
. (14)
· Определить СКО среднего арифметического значения
. (15)
· Задайте значение надежности (обычно берут P = 0.95). · Определите коэффициент Стьюдента ts для заданной надежности P и числа произведенных измерений n. · Найдите доверительный интервал (погрешность измерения)
. (16) Если величина погрешности результата измерения Δx окажется сравнимой с величиной погрешности прибора δ, то в качестве границы доверительного интервала возьмите . (17) Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте. · Окончательный результат запишите в виде . (18) · Оцените относительную погрешность результата измерений . (19)
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (531)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |