Вычитая левые и правые части последних соотношений, получим
Метод дихотомии Пусть необходимо найти решения уравнений вида(1.1): f(x)=0 т.е. необходимо найти x*, такое что f(x*)=0 Считаем, что отделение корней уравнения (1.1) проведено, это означает, что а) известен интервал [a,b], в котором находится решение уравнения; б) в этом интервале находится только один корень; в) вычислены значения функции f(x) на концах этого отрезка f(a) и f(b) и эти значения имеют разные знаки. Задача заключается в том, что необходимо определить корень уравнения с погрешностью e (рис. 1.2). Рис. 1.2. Метод дихотомии Метод дихотомии, или метод деления отрезка пополам, заключается в следующем. Определяем середину отрезка [а, b]: и вычисляем функцию . Далее делаем выбор, какую из двух частей отрезка взять для дальнейшего уточнения корня. Если левая часть уравнения f(x) есть непрерывная функция аргумента х, то корень будет находиться в той половине отрезка, на концах которой f(x) имеет разные знаки. Т.е.: - если и имеют одинаковые знаки, то а переносим в ; - если и имеют одинаковые знаки, то b переносим в ; На рис. 1.2 это будет отрезок [а, ], т.е. для очередного шага уточнения точку b перемещаем в середину отрезка и продолжаем процесс деления как с первоначальным отрезком [а, b]. Итерационный (повторяющийся) процесс будем продолжать до тех пор, пока интервал [а, b] не станет меньше заданной погрешности e: |b-a|<e Следует учитывать, что функция f(x) вычисляется с некоторой абсолютной погрешностью e1. Вблизи корня значения функции f(x) малы по абсолютной величине и могут оказаться сравнимыми с погрешностью ее вычисления. Другими словами, при подходе к корню мы можем попасть в полосу шумов 2e1 и дальнейшее уточнение корня окажется невозможным. Поэтому надо задать ширину полосы шумов и прекратить итерационный процесс при попадании в нее: |f(a)|<e1 и |f(b)|<e1 Также необходимо иметь в виду, что при уменьшении интервала [а, b] увеличивается погрешность вычисления его длины b - а за счет вычитания близких чисел. Метод дихотомии позволяет значительно уменьшить объем вычислений по сравнению с графическим методом. Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень, уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен (b - а)/2n. За 10 итераций интервал уменьшится в 210 = 1024 » 10 3 раз, за 20 итераций - в 220 » 106 раз. Таким образом, в методе дихотомии корень уравнения с относительной погрешностью δ=10-6 можно определить примерно за 20 итераций. Метод хорд Рассматриваемый метод так же, как и метод дихотомии, предназначен для уточнения корня на интервале [а, b], на концах которого левая часть решаемого уравнения f(x) принимает разные знаки. Интервал [а, b] по-прежнему определяем графическим методом. Очередное приближение теперь в отличие от метода дихотомии берем не в середине отрезка, а в точке х1, где прямая линия, проведенная через точки f(a) и f(b), пересекает ось абсцисс (рис. 1.3). Рис. 1.3. Метод хорд Уравнение прямой линии, проходящей через точки f(a) и f(b), запишем в общем виде у(х) = kx + с Коэффициенты k и с уравнения этой прямой определим из условий f(a)=ka+с, f(b)=kb+с. Вычитая левые и правые части последних соотношений, получим Точку пересечения прямой у(х) с осью абсцисс получим, приравнивая у(х) нулю, (1.7) или (1.8) В качестве нового интервала для продолжения итерационного процесса выбираем тот из двух [a, x1] или [х1, b], на концах которого функция f(x) принимает значения с разными знаками. Заканчиваем процесс уточнения корня, когда расстояние между очередными приближениями станет меньше заданной погрешности e: |xn-xn-1|<e или когда значения функции f(x) попадут в область шума, т.е. |f(xn)|<e1
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (425)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |