Решение нелинейных уравнений
Метод хорд
Первые три итерации метода хорд. Синим нарисована функция f(x), красными проводятся хорды. Метод хорд — итерационный численный метод приближённого нахождения корня алгебраического уравнения.
Геометрическое описание Будем искать корень функции f(x). Выберем две начальные точки ( ; ) и ( ; ) и проведем через них прямую. Она пересечет ось абсцисс в точке ( ;0). Теперь найдем значение функции с абсциссой . Временно будем считать корнем на отрезке [ ; ]. Пусть точка имеет абсцисcу и лежит на графике. Теперь вместо точек и мы возьмём точку и точку . Теперь с этими двумя точками проделаем ту же операцию и так далее, то есть будем получать две точки и и повторять операцию с ними. Отрезок, соединяющий последние 2 точки, пересекает ось абсцисс в точке, значение абсциссы которой можно приближённо считать корнем. Эти действия нужно повторять до тех пор, пока не получим значение корня с нужным приближением. Алгебраическое описание метода Пусть − абсциссы концов хорды, − уравнение прямой, содержащей хорду. Найдем коэффициенты и из системы уравнений: . Вычтем из первого уравнения второе: , затем найдем коэффициенты и : , тогда . Уравнение принимает вид: Таким образом, теперь можем найти первое приближение к корню, полученное методом хорд: Теперь возьмем координаты и и повторим все проделанные операции, найдя новое приближение к корню. Повторять операцию следует до тех пор, пока не станет меньше или равно заданному значению погрешности. Пример использования Решим уравнение методом хорд. Зададимся точностью ε=0.001 и возьмём в качестве начальных приближений и концы отрезка, на котором отделён корень: и . Вычисления ведутся до тех пор, пока не выполнится неравенство . Итерационная формула метода хорд имеет вид . По этой формуле последовательно получаем (подчёркнуты верные значащие цифры): Первый случай ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
Проверим, что метод работает и в том случае, если и выбраны по одну и ту же сторону от корня (то есть, если корень не отделён на отрезке между начальными приближениями). Возьмём для того же уравнения и . Тогда: Второй случай ; ; ; ; ; ; ; ;
Мы получили то же значение корня, причём за то же число итераций. Критерий сходимости Если дважды непрерывно дифференцируемая функция и знак сохраняется на рассматриваемом промежутке, то полученные приближения будут сходиться к корню монотонно. Если корень уравнения находится на отрезке , производные и на этом промежутке непрерывны и сохраняют постоянные знаки и , то можно доказать[1], что погрешность приближенного решения стремится к нулю при n→∞, то есть метод сходится и сходится со скоростью геометрической прогрессии (при этом говорят, что он имеет линейную скорость сходимости[источник не указан 279 дней]).
Решение нелинейных уравнений Метод половинного деления ~ Метод хорд Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными. Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:
Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений. Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности. Пусть дано уравнение
где:
Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [a, b] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что f(x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным. Решить уравнение (1) итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью. Всякое значение , обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. такое, что: называется корнем уравнения (1) или нулем функции f(x). Задача нахождения корня уравнения f(x) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов:
Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f(x) в граничных x = a и x = b точках области ее существования. Пример 1. Отделить корни уравнения:
Составим приблизительную схему:
Следовательно, уравнение (2) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах [-3, -1], [0, 1] и [1, 3]. Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом. В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней. Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) - это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x)с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением:
где функции f1(x) и f2(x) - более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = f1(x) и у = f2(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков. Рисунок 2. Пример 2. Графически отделить корни уравнения (Рисунок 2):
Уравнение (4) удобно переписать в виде равенства: lg x= . Отсюда ясно, что корни уравнения (4) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = . Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень уравнения (4) или определим его содержащий отрезок [2, 3]. Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х0. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х1, х2, ..., хn. Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (588)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |