Ответ: б (определение)

Тренировочный тест №1

1. Какие из перечисленных операций можно ввести для трех векторов? а) сложение; б) скалярное произведение; в) векторное произведение; г) смешанное произведение.

Ответ: а, г:

а) Сложение трех векторов мы можем ввести на базе сложения двух векторов. То есть сначала находим сумму двух векторов, а затем получившийся вектор прибавляем к третьему;

б) Нет (стр 30 Замечание)

в) Нет (стр 42 пример 1.22)

г) Смешанное произведение применяется всегда для трех векторов.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Какие из перечисленных равенств справедливы для любого вектора ? а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Ответ: а, б, д:

а) Да (стр. 29 п. 1°)

б) Да (стр. 29 п. 1°)

в) Нет, по формуле скалярного произведения В нашем случае угол между векторами равен 0 (так как это один и тот же вектор), а значит и синус равен 0. То есть никак не равен квадрату его модуля

г) Нет (смотри в)

д) Да (стр. 29 п. 1°)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Какие из перечисленных равенств справедливы для любых векторов и ?

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) ; ж) ;

з) ; и) .

Ответ: а, б, в, г, д:

а) Да (стр. 30 пример 1.11)

б) Да (стр. 31 упражнение 1.3)

в) Да (стр. 31 упражнение 1.3)

г) Да (стр. 29 п. 1°, стр. 30 пример 1.11). Мы можем вектор а+b заменить на какой-нибудь другой вектор с и тогда получим квадрат вектора

д) Да (стр. 29 п. 1°, стр. 31 упражнение 1.3). Мы можем вектор а-b заменить на какой-нибудь другой вектор с и тогда получим квадрат вектора

е) Нет, так как слева равенства у нас вектор, а справа число

ж) Нет, так как в правой части ноль (смотри задание 2 пункт в)

з) Нет, так как слева это векторное произведение двух ОДИНАКОВЫХ векторов, а оно равно 0 (смотри задание 2 пункт в), а в правой части останется двойное векторное произведение

и) Нет (смотри пункт з)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Какие из перечисленных равенств справедливы для любых векторов и ? а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

Ответ: ж, д:

а) Нет, так как число слева всегда больше нуля (так как модуль), а справа синус может быть отрицательный

б) Нет (смотри пункт а)

в) Нет, ведь мы уже знаем, что там не синус, а косинус (смотри пункт ж)

г) Нет, по формуле косинус

д) А вот это уже наш случай (стр. 29 определение)

е) не вижу разницы от пункта г

ж) Да (стр. 35 п. 1*)

з) Нет, слева вектор, а справа число

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Какие из перечисленных утверждений верны? а) любые сонаправленные векторы коллинеарны; б) любые противонаправленные векторы коллинеарны; в) любые коллинеарные векторы сонаправлены; г) любые коллинеарные векторы противонаправлены; д) если из двух векторов один нулевой, то эти векторы коллинеарны; е) если два вектора коллинеарны, то один из них нулевой; ж) если из трех векторов два коллинеарны, то эти три вектора компланарны; з) если три вектора компланарны, то два из них коллинеарны; и) любые два вектора компланарны; к) любые четыре вектора некомпланарны; л) можно подобрать два вектора так, что они будут некомпланарными; м) если три вектора компланарны, то один из них нулевой.

Ответ: а, б, д, ж, и:

а) и б) Без комментариев (определение)

в) Могут быть противонаправлены

г) Могут быть сонаправлены

д) Без комментариев (определение)

е) Совсем не всегда (ошибка без комментариев)

ж) Да, т.к два всегда компланарны а плоскость можем выбрать, что бы и третий был компланарен

з) Совсем не всегда (ошибка без комментариев)

и) Да

к) Совсем не всегда (ошибка без комментариев)

л) Нет

м) Совсем не всегда (ошибка без комментариев)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. Какие из перечисленных утверждений верны? а) если один из двух векторов нулевой, то их скалярное произведение равно нулю; б) если скалярное произведение векторов равно нулю, то один из них нулевой; в) если один из двух векторов нулевой, то их векторное произведение; г) если векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору, то один из них нулевой.

Ответ: а, в:

а) Да (стр. 29 определение)

б) Не обязательно. К примеру, просто косинус угла между векторами может оказаться равен 0, а это не означает что вектор нулевой

в) P.S. Возможно они забыли дописать «… равно нулевому вектору». Если так и есть, то тогда да, верно (стр. 35 определение)

г) Не обязательно. К примеру, просто синус угла между векторами может оказаться равен 0, а это не означает что вектор нулевой

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7. Критерием ортогональности векторов является: а) равенство нулю их векторного произведения; б) равенство нулю их скалярного произведения; в) равенство нулю их смешанного произведения; г) пропорциональность координат; д) другой ответ.

Ответ: б (определение)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

8. Критерием коллинеарности векторов является: а) равенство нулю их векторного произведения; б) равенство нулю их скалярного произведения; в) равенство нулю их смешанного произведения; г) пропорциональность координат; д) другой ответ.