Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Как читаются формулы сокращенного умножения?



2015-12-04 2287 Обсуждений (0)
Как читаются формулы сокращенного умножения? 5.00 из 5.00 4 оценки




Дополнительные формулы

В таблицу формул сокращенного умножения не помешает добавить еще несколько тождеств.

Во-первых, полезной будет формула бинома Ньютона вида , где - биномиальные коэффициенты, стоящие в строке под номером n в треугольнике Паскаля. С ее помощью можно сокращенно возводить сумму двух выражений в любую натуральную степень. Кстати, ФСУ квадрата и куба суммы и разности являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3.

Во-вторых, полезной бывает формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и большего количества слагаемых вида
(a1+a2+…+an)2=a12+a22+…+an−12+an2+
+2·a1·a2+2·a1·a3+2·a1·a4+…+
+2·a1·an−1+2·a1·an+
+2·a2·a3+2·a2·a4+…+2·a2·an−1+2·a2·an+
+…+
+2·an−1·an
.

Она читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых. Для примера возведем в квадрат с использованием этой формулы сумму трех слагаемых a, b и c, имеем (a+b+c)2=a2+b2+c2+2·a·b+2·a·c+2·b·c. В частном случае при n=2 эта формула становится уже известной нам формулой квадрата суммы двух слагаемых.

И еще не помешает держать перед глазами формулу разности n-ых степеней двух слагаемых вида an−bn=
=(a−b)·(an−1+an−2·b+an−3·b2+…+a·bn−2+bn−1)
, которую обычно представляют раздельно для четных и нечетных показателей. Для четных показателей 2·m она имеет вид a2·m−b2·m=
=(a2−b2)·(a2·m−2+a2·m−4·b2+a2·m−6·b4+…+b2·m−2)
, а для нечетных показателей 2·m+1 – вид a2·m+1−b2·m+1=
=(a−b)·(a2·m+a2·m−1·b+a2·m−2·b2+…+b2·m)
. Частными случаями этой формулы являются формулы разность квадратов (при n=2), разность кубов (при n=3) и сумма кубов (при n=3 и если b заменить на −b).

Как читаются формулы сокращенного умножения?

Чтобы рассказать решение примера, в котором были использованы формулы сокращенного умножения, нужно знать, как эти формулы читаются. Дадим соответствующие формулировки.

Сначала разберемся с принципом чтения формул сокращенного умножения. Это удобнее всего сделать, рассмотрев любую и них, например, первую формулу квадрата суммы вида (a+b)2=a2+2·a·b+b2.

В левой ее части находится выражение (a+b)2, которое представляет собой квадрат суммы двух выражений a и b, оно так и читается (отсюда понятно и название формулы). Дальше стоит знак равно, он и произносится как равно. В правой части формулы расположена сумма трех слагаемых a2, 2·a·b и b2. a2 и b2 – это квадраты первого и второго выражений соответственно, а 2·a·b читается как удвоенное произведение выражений a и b, слово «удвоенное» отвечает числовому коэффициенту 2. Осталось соединить все эти рассуждения в одно предложение, которое будет ответом на вопрос, как читается формула квадрата суммы.

Итак, квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения первого и второго выражений и квадрата второго выражения.

Аналогично читаются и остальные фсу.

Так квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение этих выражений плюс квадрат второго выражения. Эта формулировка второй фсу вида (a−b)2=a2−2·a·b+b2.

Дальше читаем формулу (a+b)3=a3+3·a2·b+3·a·b2+b3. Куб суммы двух выражений a и b равен сумме куба первого выражения, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе, утроенного произведения первого выражения на квадрат второго и куба второго выражения.

Аналогично читается и формула куба разности (a−b)3=a3−3·a2·b+3·a·b2−b3. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго выражения минус куб второго выражения.

Переходим к чтению пятой по списку формулы сокращенного выражения (a−b)·(a+b)=a2−b2. Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов первого и второго выражений.

А для удобства чтения шестой и, последней, седьмой ФСУ используют термины «неполный квадрат суммы» и «неполный квадрат разности» выражений a и b, которыми называют выражения a2+a·b+b2 и a2−a·b+b2 соответственно. (В свою очередь выражения a2+2·a·b+b2 и a2−2·a·b+b2 называют полным квадратом суммы и разности соответственно.)

Итак, произведение суммы двух выражений на их неполный квадрат разности равно сумме кубов этих выражений. Так читается формула (a+b)·(a2−a·b+b2)=a3+b3. И произведение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы равен разности кубов этих выражений, этому утверждению отвечает формула сокращенного умножения вида (a−b)·(a2+a·b+b2)=a3−b3.

Доказательство

Сейчас самое время остановиться на доказательстве формул сокращенного умножения. Доказать их достаточно легко – для этого нужно лишь выполнить возведение в степень или умножение выражений, находящихся в левых частях формул, основываясь на свойствах умножения.

Для примера докажем формулу квадрата разности (a−b)2=a2−2·a·b+b2. Возведем разность a−b во вторую степень. Для этого степень заменяем умножением, и выполняем это действие: (a−b)2=(a−b)·(a−b)=
=a·(a−b)−b·(a−b)=a·a+a·(−b)−b·a−b·(−b)=
=a2−a·b−b·a+b·b=a2−a·b−a·b+b2=
=a2−2·a·b+b2
.

Абсолютно аналогично доказывается любая другая из 7 основных формул сокращенного умножения.



2015-12-04 2287 Обсуждений (0)
Как читаются формулы сокращенного умножения? 5.00 из 5.00 4 оценки









Обсуждение в статье: Как читаются формулы сокращенного умножения?

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2287)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.006 сек.)