Теорема о логарифмическом вычете
Лекция №2. Теорема о логарифмическом вычете, принцип аргумента. Теорема Руше. Теорема Гурвица о пределе последовательностей аналитических функций. Определение вычета. Логарифмическая функция и логарифмический вычет. Кратность нуля и полюса для мероморфной функции. Теоретические вопросы: 1) Сходимость последовательности аналитических функций; 2) Теорема Вейерштрасса; 3) Теорема Руше; 4) Теорема Гурвица; Содержание лекции Сходимость аналитических функций Ранее было рассмотрено определение последовательности непрерывных функций. Для данной последовательности имеет место следующая теорема: Теорема 2.1. Если функции непрерывны на множестве , то в случае равномерной сходимости их на к конечной функции ,последняя также непрерывна на . Доказательство. Действительно, пусть ; для заданного существует такой номер , что для всех имеем . Далее, существует число такое, что для всех с имеем (возможно в силу непрерывности на ). Отсюда для с имеем: ,что и означает непрерывность в точке . Отсюда далее следует, что если функции непрерывны в области и равномерно сходятся внутри к конечной функции то непрерывна в . В случае аналитических функций имеет место следующая фундаментальная теорема Вейерштрасса. Теорема Вейерштрасса Теорема 2.2.(Вейерштрасса). Если последовательность функций , регулярных в области , равномерно сходится внутри к конечной функции то регулярна в и последовательность производных равномерно сходится внутри к . Доказательство. Возьмем какой-либо замкнутый круг , лежащий в , и концентрический с ним замкнутый круг большего радиуса, также лежащий в . Если есть граница , то по формулам Коши имеем для : (1) С другой стороны, так как непрерывна в , то функция (2) будет регулярной в . Из (1) и (2) имеем для : (3) и аналогично (4) Но на последовательность равномерно сходится и, следовательно, для заданного существует такое, что при на будет: . Имея это в виду, из (3) и (4) получаем при (5) где и — радиусы кругов и . Первое из этих неравенств показывает, что сходится в к функции , которая по условию должна совпадать с Следовательно, регулярна внутри . Но — любой круг, лежащий в . Поэтому регулярна в , если не содержит ∞. Далее, второе из неравенств (5), если заменить в нем на , показывает, что последовательность равномерно сходится в к , так как, за счет выбора , правую часть можно сделать сколь угодно малой сразу для всех , то есть так как в , то в . Чтобы доказать равномерную сходимость внутри , отметим, что каждое ограниченное замкнутое множество можно покрыть конечным числом кругов, целиком лежащих в вместе с границами. Действительно, для каждой точки существует замкнутый круг с центром в , лежащий в . Совокупность этих кругов (для всех ) целиком покрывает . По теореме Гейне — Бореля существует конечное число кругов, также покрывающих . Пусть эти круги будут . Тогда, по доказанному, для существуют , то при и имеем . Если есть наибольшее из чисел , то при неравенство имеет место для точек всех кругов , , а следовательно, и для всех , т. е. последовательность равномерно сходится на . Теорема о логарифмическом вычете Теорема 2.3. (теорема о логарифмическом вычете). Пусть G – некая область комплексной плоскости. f – аналитическая функция в области G. - гладкий контур внутри G. Пусть - количество нулей функции f внутри Г (считая их кратность), тогда получим равенство: . (1) Доказательство. Используем теорему Коши о вычетах, согласно которой: . (2) Пусть порядка . Разложим функцию: . Вычислим производную: . . . Следовательно , где - порядок нуля в точке а. Отсюда следует, что: . При подсчете числа нулей регулярной функции в заданной области часто применяется теорема Руше. Теорема Руше Теорема 2.4. (теорема Руше). Пусть функции и регулярны в ограниченной односвязной области и на ее границе и пусть для всех имеет место неравенство . Тогда функции и имеют в области одинаковое число нулей. Доказательство. Используя теорему о логарифмическом вычете, отметим, что – количество нулей функции . Обозначим величину . Функцию можно представить в следующем виде: , где То есть , где – ноль функции , а – его порядок . Пусть , где – полюс 1-го порядка. Значит, 1 Для . Надо показать, что . Пусть . Тогда . Значит, . Получаем: Cдругой стороны, так как и , то .. Получается, что , то есть . Относительно равномерно сходящихся последовательностей регулярных функций докажем еще следующую теорему, имеющую многочисленные применения. Теорема Гурвица Теорема 2.5. (Гурвица) Если последовательность функций , регулярных в области , равномерно сходится внутри к регулярной функции и если каждая из функций принимает данное значение не более кем в точках области , то и функция принимает значение не более кем в точках из . Доказательство. Пусть сначала не содержит ∞. Допустим, что принимает значение в различных точках Опишем около точек , столь малые окружности , чтобы они лежали внедруг друга, содержали внутри себя лишь точки области и чтобы на них не было нулей функции . Все это возможно выполнить, поскольку . При этих условиях существует такое, что на всех окружностях имеем . Так как последовательность функций равномерно сходится на окружностях , то существует такое, что на , , имеем . Из по теореме Руше заключаем, что функция внутри каждой окружности , наверное имеет нули, nтаккак их имеет функция . Следовательно, принимает значение не менее, чем в точках области , что противоречит условию теоремы. Если область содержит ∞, но отлична от полной плоскости, то, отобразив ее надлежащей дробно-линейной функцией на область, не содержащую ∞, можно применить к преобразованным функциям выше доказанное. И случай, когда область является всей плоскостью , исключается, так как в этом случае всегда . Следствие 2.2.1. Если последовательность однолистных функций сходится к функции , то является однолистной функцией, при чем .
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1533)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |