Формула полной вероятности. Формулы Байеса
Формула полной вероятности позволяет получить формулу для безусловной вероятности события А когда известен ряд его условных вероятностей. Определение: События будем называть полной системой событий, если 1. 2. 3. Пусть известны безусловные вероятности и условные вероятности события А, тогда Последнее выражение называется формулой полной вероятности. Теперь выразим через и . Вероятности принято называть априорными, а вероятности - апостериорными. Последнее выражение называется формулой Байеса.
Пример 3.Задача о наилучшем выборе Предположим, что имеется m предметов, сравнивая которые наблюдатель может сказать, который предмет лучше или хуже. Наблюдатель последовательно осматривает предметы, причем, осмотрев и отвергнув некоторый предмет, нельзя к нему возвращаться. Дополнительно существует еще одно правило: нельзя останавливать свой выбор на предмете, который хуже какого-нибудь осмотренного предмета. Предположим, что, следуя описанной процедуре, наблюдатель сделал выбор, остановившись на k-ом предмете, т.е. последний из осмотренных k-ый предмет является наилучшим среди всех осмотренных. Какова вероятность, что этот выбранный предмет является наилучшим среди всех m предметов? Решение. Обозначим В событие, состоящее в том, что k-ый предмет является наилучшим среди всех осмотренных. Наблюдателю известно, что событие В произошло. Обозначим А событие, состоящее в том, что k-ый предмет является наилучшим среди всех m предметов. Надо найти Р(А/В)= Р(АВ)/ Р(В). Всевозможные расположения предметов при осмотре будем считать равновероятными. Считая, что номер предмета в исходной совокупности определяет его качество, исходами эксперимента можно считать различные перестановки из m чисел. Событие А содержится в В, поэтому Р(АВ)=Р(А) и Р(А/В)= Р(А)/ Р(В).
;
Пример 4:Задача о разорении игрока. Рассмотрим игру следующего вида. Пусть некоторое случайное испытание имеет два исхода 0 и 1 с вероятностями p и q=1-p. Игрок выбирает исход (0 или 1), после чего производится испытание. Если результатом испытания является исход, выбранный игроком, то он выигрывает 1 у.е., в противном случае он проигрывает 1 у.е. Предположим, что начальный капитал игрока составляет n у.е. и игрок ставит себе целью довести его до а у.е. Игра продолжается до тех пор, пока либо игрок наберет заранее определенную сумму в а у.е., либо разорится проиграв n у.е. Какова вероятность того, что в конце концов игрок разорится, так и не набрав желаемую сумму в а у.е.? Обозначим искомую вероятность через p(n). Ясно, что p(n) зависит от начального капитала n и конечной суммы а. На первом шаге игрок может либо выиграть, либо проиграть. Используя формулу полной вероятности, получим , причем p(0)=1, p(a)=0. Последнее уравнение является линейным разностным уравнением. Для его решения необходимо решить характеристическое уравнение . Если корни характеристического уравнения l1,l 2 различны, то решение разностного уравнения имеет вид Если корни характеристического уравнения одинаковы Если корни характеристического уравнения являются комплексно сопряженными , то решение разностного уравнения имеет вид Решая характеристическое уравнение , получим и . Используя граничные условия p(0)=1, p(a)=0, получим . Поэтому . Т.О. вероятность разорения имеет вид: . Полученное решение справедливо при . При p=q=1/2 корни характеристического уравнения одинаковы l1=l 2=1 и решение разностного уравнения имеет вид Используя граничные условия , получим .
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (473)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |