Прямоугольная система координат
Аналитическое описание векторов и точек пространства осуществляется при помощи чисел. Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат x, y, z, т.е. три взаимно перпендикулярные прямые (оси), проходящие через точку О, называемую началом. Прямые направлены и называются осями координат x, y, z. Предполагается, что выбрана единица масштаба. Направление осей координат зададим единичными векторами (ортами) , , . Возьмем произвольную точку М. Вектор называется радиус-вектором точки М: . Радиус-вектор, в свою очередь, определяет некоторый вектор , который можно переносить в пространстве параллельно самому себе. Найдем проекции вектора на оси координат: очевидно, что
Такая картинка называется разложением вектора по трем координатным осям. Проекции радиус вектора на координатные оси обозначим через x, y, z. Координатами точки М в пространстве называются проекции вектора на соответствующие координатные оси: M (x, y, z). (*) или . Проекции вектора на координатные оси называются координатами вектора. Равенство (*) – основное равенство векторной алгебры. Его называют разложением вектора по координатным осям (по базису , , ).
Действия над векторами в проекциях.
Пусть даны два радиус-вектора в разложении по координатным осям: или или 1. два радиус-вектора равны тогда и только тогда, когда равны их проекции: 2. Чтобы умножить радиус-вектор на число, надо каждую из его проекций умножить на это число: или .
3. Чтобы сложить (вычесть) два радиус-вектора, надо сложить (вычесть) их одноименные координаты. или .
Координаты вектора . Пусть даны координаты точек и . Найдем координаты вектора . Рассмотрим радиус-векторы: и . Очевидно, что . В координатной форме: . Чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца вычесть координаты начала. Обозначим: . Тогда или . Т.к. произвольный вектор всегда можно сделать радиус-вектором, то свойства действий 1, 2, 3 остаются в силе.
Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
Пусть и - коллинеарные векторы. (*). Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны: Пример 1. , . Пример 2. . Коллинеарны ли векторы и ?
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. или (1) Физический смысл. Работа при прямолинейном перемещении материальной точки на расстояние S=|MN| под действием постоянной силы F вычисляется по формуле: . Если ввести вектор перемещения , то можно записать эту формулу в виде: .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (762)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |