Смешанное произведение трех векторов
Рассмотрим три вектора . Их можно перемножить между собой различными способами: 1. - вектор, коллинеарный вектору . 2. - двойное векторное произведение. 3. - скаляр (векторно-скалярное произведение) Смешанным произведением трех векторов (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора на вектор . - число!
Геометрический смысл смешанного произведения.
Смешанное произведение имеет простой геометрический смысл. Приведем векторы , и к общему началу и построим на них параллелепипед; пусть . Тогда Полученный вектор умножим скалярно на : Но ; т.о., Смешанное произведение трех векторов равно по модулю объему параллелепипеда, построенному на векторах , и . Знак этого произведения положителен, если тройка векторов , и расположена так же, как векторы , и , и отрицателен в противном случае. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов – левая. Если в данной тройке поменять местами любые два вектора, то характер ориентации изменится.
Замечание: если тройка правая ( и образуют острый угол) и , если тройка левая ( и образуют тупой угол). Свойства смешанного произведения.
1. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный: При перестановке соседних множителей местами объем параллелепипеда не изменяется, а изменяется характер ориентации тройки. 2. Смешанное произведение не изменяется при циклической перестановке сомножителей:
При этом не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация тройки векторов. 3. Смешанное произведение трех векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны. , ( , объем параллелепипеда равен нулю). Это необходимое и достаточное условие компланарности.
Смешанное произведение в координатной форме.
Пусть ; и . Смешанное произведение трех векторов, взятых в определенном порядке, равно определителю 3 порядка, составленному из координат сомножителей, причем порядок строк соответствует порядку расположения сомножителей: В смешанном произведении трех векторов важно сохранить последовательность записи векторов, но безразлично, где поставить знак векторного, а где скалярного произведения. Условие компланарности трех векторов в координатной форме имеет вид: Пример. Даны точки: A(-1,2,4); B(6,1,-3); C(4,5,-8) и D(4,2,1). Найти объем пирамиды. , ; и
ЛЕКЦИЯ №4 Элементы аналитической геометрии.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (841)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |