Линии на плоскости и их уравнения
Линию на плоскости будем рассматривать как геометрическое место точек M(x, y), удовлетворяющих некоторому условию. Если в декартовой системе координат записать свойство, которым обладают все точки линии, связав координаты и некоторые константы, можно получить уравнение вида: F(x, y) = 0 или . Пример. Написать уравнение окружности с центром в точке C(x0, y0) и радиуса R. Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от точки С. Возьмем точку М с текущими координатами. Тогда |CM| = R или или . Если центр окружности находится в начале координат, то x2 + y2 = R2. Не всякое уравнение вида F(x, y) = 0 определяет линию в указанном смысле: x2 + y2 = 0 – точка.
Прямая на плоскости. Прямые на данной плоскости являются частным случаем прямых в пространстве. Поэтому их уравнения можно получить из соответствующих уравнений прямых в пространстве.
Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Любую прямую в плоскости XOY можно задать как линию пересечения плоскости Ax + By + Cz + D = 0 с плоскостью XOY: z = 0. - прямая линия в плоскости XOY: Ax + By + D = 0. Полученное уравнение называется общим уравнением прямой. В дальнейшем его будем записывать в виде: Ax + By + C = 0 (1) 1) Пусть , тогда или y = kx + b (2) – уравнение прямой с угловым коэффициентом. выясним геометрический смысл k и b. Положим x = 0. Тогда y = b – начальная ордината прямой. Положим y = 0. Тогда ; - угловой коэффициент прямой. Частные случаи: а) b = 0, y=kx – прямая проходит через начало координат; б) k = 0, y = b – прямая параллельна оси ОХ; b) если B = 0, то Ax + C = 0, , x = a Это - геометрическое место точек с постоянными абсциссами, равными a, т.е. прямая перпендикулярна оси ОХ.
Уравнение прямой в отрезках. Пусть дано общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0, причем . Разделим обе его части на –C: или (3), где ; . Это уравнение прямой в отрезках. Числа a и b – величины отрезков, отсекаемых на осях координат.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.
Пусть дана точка M0(x0, y0), лежащая на прямой L и угловой коэффициент k. Запишем уравнение: y = kx + b (*). Здесь b неизвестно. Найдем его, учитывая, что M0 L: y0 = kx0 + b (**). Вычтем почленно из (1) (2): y – y0 = k(x – x0) (4). Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
Уравнение прямой, проходящие через две данные точки. Пусть даны две точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2) L. Запишем уравнение (4) в виде: y – y1 = k(x – x1). Т.к. M2 L, то y2 – y1 = k(x2 – x1). Поделим почленно: (5), . Это уравнение имеет смысл, если , . Если x1 = x2, то M1(x1, y1) и M2(x1, y2). Если у2 = у1, то М1(х1, у1); М2(х2, у1). Т.о., если один из знаменателей в (5) обращается в нуль, надо приравнять нулю соответствующий числитель. Пример. М1(3, 1) и М2(-1, 4). Написать уравнение прямой, проходящей через эти точки. Найти k. , 3х + 4у – 13 = 0, ; .
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2522)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |