Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Модель Максвелла. Релаксация напряжения




Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

 

Идеально упругое тело. Поведение идеально упругого тела описывается законом Гука (2.39), а универсальной характеристикой упругости является модуль Юнга Е - коэффициент пропорциональности между деформацией и напряжением.

Ньютоновская жидкость. Основным законом, описывающим течение «идеальной», так называемой ньютоновской жидкости, является закон Ньютона-Стокса, иллюстрацией к которому служит рис. 2.27. Слой жидкости толщиной d помещен между двумя плоскопараллельными пластинами, из которых одна с площадью S является подвижной, другая - неподвижной. К верхней подвижной пластине приложена сила ƒ, под действием которой она движется со скоростью v. Благодаря трению, движение передается жидкости, слои которой движутся с убывающей скоростью. Сила ƒ и скорость v связаны уравнением:

 

 

где ŋ - коэффициент пропорциональности, называемый вязкостью, который характеризует внутреннее трение в жидкости при ее течении.

 

 

Из рис. 2.27 видно, что слои жидкости вовлекаются в течение путем приложения к ним силы (трения) по касательной. В этом случае приложенная сила, отнесенная к единице площади, называется напряжением сдвига, а градиент скорости в направлении, перпендикулярном приложенной силе (потока), - скоростью сдвига. С учетом сказанного уравнение Ньютона-Стокса можно переписать в следующем виде:



 

 

где σ = ƒ/S - напряжение сдвига, ŋ = v/d - скорость сдвига. Жидкости, вязкость которых не зависит от напряжения сдвига, называются ньютоновскими. К ньютоновским жидкостям относят растворы полимеров с малой концентрацией растворенного вещества.

Упруговязкая жидкость, т.е. жидкость, при течении которой накапливаются упругие (обратимые) деформации, может быть представлена механической моделью Максвелла (рис. 2.28), которая состоит из последовательно соединенных пружины (упругий элемент) и демпфера - поршня, передвигающегося в цилиндре с вязкой жидкостью (элемент, представляющий необратимую деформацию).

 

 

При нагружении модели поршень передвигается в цилиндре с вязкой жидкостью. За счет силы трения движение передается пружине, которая растягивается на определенную величину, запасая упругую энергию. По окончании деформации модели пружина возвращается к исходному состоянию, высвобождая запасенную упругую энергию (упругое последействие), а смещение поршня в цилиндре необратимо.

К упруговязким жидкостям относятся достаточно концентрированные растворы полимеров, жидкие каучуки, расплавы полимеров. Рассмотрим простой опыт, который доказывает наличие упругого последействия в подобных жидкостях. На рис. 2.29 изображена система из двух коаксиальных цилиндров, способных к независимому вращению. Эта система является прообразом ротационного вискозиметра, широко применяемого на практике для измерения вязкости.

 

 

Если в зазор между цилиндрами поместить ньютоновскую жидкость, то при вращении внутреннего цилиндра внешний цилиндр также будет вращаться с некоторой постоянной, но меньшей скоростью за счет трения перемещающихся слоев жидкости. При прекращении вращения внутреннего цилиндра внешний сразу остановится. В случае упруговязкой жидкости по прекращении вращения внутреннего цилиндра внешний останавливается не сразу.

Перед остановкой он повернется на несколько градусов в обратную сторону, что является доказательством наличия упругости у жидкости. Выше упоминалось, что параметрами, характеризующими упругое тело и ньютоновскую жидкость, являются модуль упругости Е и вязкость ŋ. Какой параметр характеризует упруцовязкую жидкость? Ответить на этот вопрос можно с помощью модели, легко поддающейся математическому описанию.

Обозначим модуль упругости пружины через E, вязкость демпфера через ŋ, суммарное напряжение на пружине и поршне - через σ. Тогда, с учетом уравнений (2.39) и (2.58), скорость развития деформации ε можно описать следующим соотношением:

 

 

Рассмотрим случай, когда деформация модели фиксируется, т.е. ε = const и напряжение начнет постепенно уменьшаться в результате возвращения пружины к исходному состоянию. Процесс этот является замедленным, поскольку связан с перемещением поршня в вязкой жидкости. Если в начальный момент, отвечающий фиксации деформации, t = 0, ε = ε0 > σ = σ0 и dε /dt = 0, то в результате интегрирования уравнения (2.60) получаем:

 

 

Параметр называется временем релаксации. Согласно (2.62), можно определить как время, в течение которого напряжение уменьшается в «е» раз. Согласно более общему определению, можно представить как время, необходимое для перестройки структуры системы, подвергающейся воздействию, из исходного равновесного состояния к конечному. Явление уменьшения напряжения при фиксированной деформации упруговязкого тела называется релаксацией напряжения.

 

Теория рептаций

 

Из уравнения (2.63) следует, что свойства упруговязкой жидкости определяются временем релаксации . Для того, чтобы теоретически рассчитать концентрированного раствора или расплава полимера, необходимо иметь

 

 

их физическую модель. Первое положение, касающееся этой модели, состоит в том, что в концентрированных растворах и расплавах полимеров макромолекулы образуют сплошную флуктуационную сетку зацеплений, подобных тем, что изображены на рис. 2.30.

Образование такой сетки объясняет возникновение упругих свойств у раствора при достижении определенной концентрации полимера. Второе положение касается характера движения макромолекул в окружении себе подобных. Согласно теории рептаций, разработанной в 70-х годах XX века Де Женом, Эдвардсом и Доем, макромолекула в таких условиях движется подобно ужу в куче хвороста, т.е. совершает змееподобные движения в трубке, образованной окружением других макромолекул.

Рассмотрим механизм образования трубки. Для этого необходимо представить, что конформации всех цепей, кроме рассматриваемой нами так называемой «пробной», заморожены. Это и приведет к образованию трубки, поскольку «пробная» макромолекула не может двигаться в направлении, перпендикулярном оси трубки, она может двигаться лишь вдоль этой оси путем змееподобной диффузии, называемой рептацией. Расчеты показывают, что «размораживание» конформации соседних цепей принципиально не изменяет ситуацию - основным способом перемещения макромолекул остается рептация.

Соседние цепи, образующие стенки трубки, периодически обновляются. Существует характерное время *, аналогичное по физическому смыслу времени релаксации, называемое временем обновления трубки. Его можно также охарактеризовать как время пребывания «пробной» цепи в трубке. Механизм проявления вязкоупругости в рассмотренной модели можно представить на рис. 2.31 следующим образом:

при t < упруговязкая полимерная жидкость (Концентрированный раствор полимера с зацеплениями.) проявляет упругий отклик благодаря наличию сетки зацеплений;

при t > трубки обновляются, макромолекула успевает выползать из зацеплений, и полимерная жидкость проявляет вязкий отклик.

 

 

Для того, чтобы вычислить на основе рассматриваемой модели, следует оценить параметры трубки. Считается, что флуктуационная сетка зацеплений, присущая упруговязким полимерным жидкостям, образуется при достижении определенной плотности физических сшивок, которая оценивается параметром ne, равным числу звеньев между двумя сшивками. Для гибкоцепных полимеров 500 > ne > 50, что соответствует 105 > > 104. Для столь длинных участков цепей справедливы все соображения, изложенные в разделе 2.1 о неизбежности сворачивания макромолекул в рыхлые клубки. Отрезок цепи между двумя зацеплениями образует так называемый субклубок или «блоб» с характерным размером

 

 

который задает толщину трубки. Сама трубка при этом может быть представлена последовательностью n/ne блобов, где n - число звеньев в цепи, ее длина LT, равна:

 

 

Естественно, что длина трубки много меньше контурной длины цепи L = n·l.

В современной динамической теории полимерных жидкостей, основанной на модели рептаций, принимается, что время релаксации * равно времени выхода макромолекулы из трубки. Из этого следует, что за время * молекула должна продиффундировать на расстояние, равное LT. Поскольку движение является диффузионным, броуновским, следует применять известное уравнение, описывающее броуновское движение:

 

 

где Δx - смещение в избранном направлении; D - коэффициент диффузии, t - время. Согласно выводу Эйнштейна:

 

 

где µ - коэффициент трения диффундирующей частицы. Коэффициент трения макромолекулы µM слагается аддитивно из коэффициентов трения звеньев цепи µ, поэтому

 

 

Последний результат дает возможность найти зависимость вязкости концентрированных растворов и расплавов полимеров от молекулярной массы, используя (2.63). Это важно сделать потому, что полученный результат легко проверить экспериментально. Необходимое для этого выражение для модуля упругости может быть легко получено, исходя из теории эластичности полимерных сеток, рассмотренной в разделе 2.2.4, согласно которой модуль упругости пропорционален плотности сшивки. Применим это положение к флуктуационной сетке зацеплений макромолекул, полагая, что число сшивок в единице объема обратно пропорционально ne и объему звена цепи l3 где l -длина цепи. Тогда:

 

 

где М - молекулярная масса цепи. Опыт в целом подтверждает зависимость, однако в отдельных случаях наблюдается и несколько более сильная зависимость ŋ ~ М3,4.

Поскольку многие физические свойства полимеров определяются их большим временем релаксации, целесообразно вернуться к соотношению (2.69). Оно может быть записано в следующем виде:

 

 

где ' = µI2/kT можно рассматривать как время релаксации низкомолекулярной жидкости, молекулы которой соизмеримы по величине со звеньями полимерной цепи. Этот вывод следует из допущения по аналогии с определением для макромолекулы в трубке, что время релаксации низкомолекулярных жидкостей равно времени перемещения молекул на расстояние порядка их размера.

Следует ожидать, что вязкоупругость какого-либо материала или жидкости будет проявляться в том случае, когда время воздействия на него t соизмеримо со временем релаксации . Если > t, будут проявляться упругие свойства, при t > - течение. Рассмотрим с этой точки зрения низкомолекулярные и полимерные жидкости. Используя типичные значения l = 0,5 нм и D ~ 2·10-7 м2/с, характерные для низкомолекулярных жидкостей, получим ~ 10-12 с. Это означает, что при столь малых временах релаксации низкомолекулярные жидкости могут проявлять вязкоупругие свойства лишь при сверхкратких временах воздействия.

Для полимерных жидкостей время релаксации в n3/ne раз больше по сравнению с низкомолекулярными. Если ne ~ 102, n ~ 104, то n3/ne составляет порядка 1010, что приводит ко времени релаксации полимерных жидкостей - 10-2 с. Сама по себе эта величина уже макроскопическая, однако, как правило, сильные межмолекулярные взаимодействия или водородные связи приводят к значительному увеличению (до нескольких секунд) в результате увеличения µ. Поэтому вязкоупругие свойства многих полимерных жидкостей проявляются в макроскопических экспериментах.

 




Читайте также:
Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе...
Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация...
Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1309)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.014 сек.)
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7