Элементы алгебры матриц
Лекция 1. Матрицы. Основные определения и правила действия. Определение 1. Матрица это прямоугольная таблица элементов, имеющая строк и столбцов (1) Матрица (1) называется прямоугольной матрицей размером . Каждый элемент матрицы нумеруется двумя индексами. Первый индекс обозначает номер строки. Второй индекс обозначает номер столбца. Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор - строкой. Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор – столбцом. Если число строк равно числу столбцов , то такую матрицу называют квадратной матрицей размером . Пример 1.Матрица размером имеет 2 строки и 3 столбца Матрица размером (3 2) имеет 3 строки и 2 столбца . Пример 2. Элемент расположен на пересечении второй строки и третьего столбца. Элемент расположен на пересечении третьей строки и второго столбца. Элемент расположен на пересечении -ой строки и -го столбца. Определение 2.Матрицы обозначаются заглавными буквами.Например, матрица , матрица . Две - матрицы и равны, если соответствующие элементы матриц равны. То есть для всех . Между матрицами разных размеров равенства быть не может. Элементы алгебры матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется -матрица , элементами которой являются суммы соответствующих элементов матриц А и В. Таким образом С=А+В если для всех . Пример 3. Вычислить сумму матриц Решение. ; Замечание. Матрицы разных размеров складывать нельзя. Определение 3.Чтобы умножить число на матрицу нужно каждый элемент матрицы умножить на число . Определение 4.Выражение , где -числа, а - матрицы называют линейной комбинацией матриц и . Правило 1. Умножение вектор строки на вектор – столбец. Чтобы перемножить вектор- строку на вектор-столбец с одинаковым числом элементов нужно перемножить первый элемент строки на первый элемент столбца, второй элемент строки на второй элемент столбца ит.д. и затем полученные произведения сложить. Пример 4. Пусть заданы: вектор- строка и вектор- столбец требуется перемножить А на В. РЕШЕНИЕ. = . Правило 2. Умножение матрицы А размером ( ) на матрицу В размером ( ). При умножении матрицы А размером на матрицу В размером получается матрица С размером . Причем элемент матрицы С получается перемножением ой строки А матрицы и го столбца В матрицы. Замечание.Правило 2 говорит нам о том, что если число столбцов первого сомножителя совпадает с числом строк второго сомножителя, то такие матрицы перемножать можно . Пример 5. Перемножить матрицы А и В
РЕШЕНИЕ. Условия перемножения матриц выполнены. Начнём с вычисления элемента . Нужно первую строку А матрицы умножить на первый столбец В матрицы: = . Чтобы вычислить элемент нужно первую строку А матрицы умножить на второй столбец В матрицы: = . Чтобы вычислить элемент нужно первую строку А матрицы умножить на третий столбец матрицы В матрицы: = . Остальные элементы С матрицы находим аналогично. Рекомендуем читателю самостоятельно их вычислить. Ответ: . Пример 6. Умножение столбца на строку. Перемножить . Решение. Выписываем правило . В результате должна получиться матрица С размером (сравните с результатом умножения строки на столбец ( см. пример 1.4)) Ответ: . Пример 6. Умножение матрицы на столбец.Перемножить Решение. Выписываем правило . Перемножать можно. В результате получается матрица-столбец размером . Выписываем ответ = Квадратные матрицы. Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов ,называется квадратной матрицей. Матрицу размером называют матрицей 2-го порядка. Матрицу размером называют матрицей 3-го порядка и так далее.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (563)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |