Теоретические сведения. Распределение дискретной случайной величинызадается таблицей

Распределение дискретной случайной величинызадается таблицей, где :

Распределение непрерывной случайной величинызадается плотностью распределения : .

Функцией распределения случайной величины называется функция . В непрерывном случае .

Вероятность попадания случайной величины на участок :

. Для непрерывной случайной величины и .

Биномиальное распределение: .

Распределение Пуассона: .

Равномерное распределение в интервале: .

Показательное распределение: .

Нормальное распределение : .

Упражнения

1) Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Построить распределение числа выбитых очков.

2) Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.6. Построить распределение боезапаса, оставшегося неизрасходованным.

3) В нашем распоряжении имеется 5 лампочек, каждая из них с вероятностью 0.4 имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон, и включается ток. При включении тока дефектная лампочка сразу перегорает, после чего заменяется другой. Построить распределение числа испробованных лампочек.

4) Ученица 6 «б» класса Ирочка Маслова, идя из школы домой, останавливается на перекрестке. Ей нужно перейти 2 улицы. В зависимости от того, как горит светофор, Ирочка либо сначала переходит через Средний проспект, оказывается перед лотком с мороженым, после чего пересекает 3-ю линию, либо же переходит линию, утыкается в ларек со жвачками, а затем уже переходит через Средний. Найти вероятность того, что в течение школьной недели Ирочка два раза лакомилась мороженым.

5) Симпатичная студентка Люся Копейкина со своим приятелем Петей Чернышевым катаются на лыжах. Люся - первоклассная лыжница. Ей ничего не стоит съехать с длинной крутой горы, на которой нужно к тому же сделать пять поворотов. Что касается Пети, то его шансы упасть или не упасть на каждом повороте равны. Какова вероятность того, что Петя съедет с горы, упав не больше двух раз?

6) Самый правдивый человек на свете барон Мюнхгаузен иногда все же любит несколько приукрасить действительность и в одном случае из пяти грешит против истины. Какова вероятность того, что из четырех рассказанных им историй - про чудесную штопку коня, разрубленного пополам, про путешествие на ядре в неприятельский город, про оленя, подстреленного вишневой косточкой и про жареных куропаток на шомполе, - хотя бы две абсолютно правдивые.

7) Чингачгук и его бледнолицый брат, засев в башне с круговым обстрелом, отражают нападение пяти французских солдат. У каждого из героев в карабине по 5 пуль, и пока они могут стрелять, подступиться к ним невозможно. У французов большое количество патронов. Кроме того, у них достаточно удобная позиция за скалами, и вероятность попасть в любого из них равна 1/2. Какова вероятность того, что французы будут полностью разбиты?

8) Том Сойер ставит свою дохлую крысу на веревочке против приятельского сломанного будильника, что при подбрасывании 6 монет выпадет 3 орла. Том считает, что шансы получить или не получить загаданный результат равны. Прав ли он?

9) По многолетним наблюдениям в районе 6-м телескопа из 30 ноябрьских ночей ясных бывает в среднем 10. Группе астрономов, собирающихся сделать мировое открытие, выделено 4 ночи для наблюдений. Найти вероятность того, что мировое открытие будет совершено, если для этого требуется по крайней мере 2 ясные ночи.

10) Игрок Смит бросает 6 игральных костей и выигрывает, если выпадет хотя бы одна единица. Игрок Джонс бросает 12 игральных костей и выигрывает, если выпадет хотя бы две единицы. У кого больше шансов выиграть?

11) Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту равно 2. Найти вероятность того, что за 5 минут поступит а) 2 вызова; б) менее двух вызовов; не менее двух вызовов. Считать, что число вызовов распределено по закону Пуассона.

12) При работе компьютера время от времени происходят сбои. Среднее число сбоев за сутки равно 1.5. Считая, число сбоев распределенным по закону Пуассона, найти вероятности следующих событий: А – за двое суток не будет ни одного сбоя; В – в течение суток произойдет хотя бы один сбой; С – за неделю работы произойдет не менее трех сбоев.

13) Известно, что на 100 булочек с изюмом попадается одна, в которой изюма нет вообще. Ученик 6 «б» класса Костя Сидоров ставит одну жвачку Dirol против одной приятельской, что из купленной в школьном буфете булочки он выковыряет хотя бы 4 изюминки. Справедливо ли такое пари? (Указание: найти вероятность того, что в купленной булочке будет по крайней мере 4 изюминки, считая, что число изюминок в булочке подчиняется закону Пуассона)

14) В дневнике ученика 6 «б» класса Кости Сидорова 60 страниц, и только одна из них без единого замечания, что является чистой случайностью. Сколько в дневнике страниц с тремя замечаниями? (Указание: найти вероятность того, что на произвольной странице имеется 3 замечания, считая, что число замечаний на странице подчиняется закону Пуассона)

15) Ученик 6 «б» класса Костя Сидоров в диктанте из 20 предложений умудрился сделать 20 ошибок. Такое соотношение между числом ошибок и количеством предложений весьма характерно для Кости и не зависит от объема работы. Сколько в Костином диктанте предложений, в которых содержится по две ошибки? (Указание: найти вероятность двух ошибок в произвольном предложении считая, что число ошибок в предложении подчиняется закону Пуассона)

16) Какова вероятность того, что, угощая Чичикова, Плюшкин принес ему не заплесневелый калач, если известно, что на хранящихся в кладовке Плюшкина хлебобулочных изделиях в среднем по 4 подозрительных сине-зеленых пятна?

17) Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид: Найти коэффициент а; найти плотность распределения; найти вероятность попадания случайной величины на участок от 0.25 до 0.5.

18) Случайная величина распределена по закону прямоугольного треугольника в интервале (0, a). Написать выражение плотности распределения; найти функцию распределения; найти вероятность попадания случайной величины на отрезок от а/2 до а.

19) Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью: Найти коэффициент а; построить график плотности распределения; найти функцию распределения и построить ее график; найти вероятность попадания случайной величины на участок от 0 до p/4.

20) Случайная величина распределена по закону Симпсона (закону равнобедренного треугольника) на интервале (-а,а). Написать выражение плотности распределения; найти функцию распределения; найти вероятность попадания случайной величины на отрезок от -а/2 до а.

21) Случайная величина распределена по закону Коши . Найти коэффициент а; найти функцию распределения; найти вероятность попадания случайной величины на участок от –1 до +1.

22) Случайная величина распределена по показательному закону. Построить график плотности распределения; найти функцию распределения.

23) Случайная величина распределена по закону Лапласа . Найти коэффициент а; построить графики плотности и функции распределения.

24) Случайная величина распределена по нормальному закону . Найти вероятность того, что она примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

25) Случайная величина, распределенная по нормальному закону, представляет собой ошибку измерения некоторого расстояния. При измерении допускается систематическая ошибка в сторону завышения на 1.2 м; среднеквадратичное отклонение ошибки измерения равно 0.8 м. Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 1.6 м.

26) Случайная величина распределена по нормальному закону . Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше 3.

27) Браковка шариков для подшипников производится следующим образом: если шарик не проходит через отверстие d₁, но проходит через отверстие d₂ > d₁, то его размер считается приемлемым. Если какое-нибудь из этих условий не выполняется, то шарик бракуется. Известно, что диаметр шарика D есть нормально распределенная случайная величина . Найти вероятность того, что шарик будет забракован.

28) По цели, имеющей вид полосы (автострада), ширина которой равна 20 м, ведется стрельба в направлении, перпендикулярном автостраде. Прицеливание ведется по средней линии автострады. Среднеквадратичное отклонение в направлении стрельбы равно 8 м. Имеется систематическая ошибка в направлении стрельбы: недолет 3 м. Найти вероятность попадания в автостраду при одном выстреле.

29) Производится стрельба по наземной цели снарядами, снабженными радио взрывателями. Номинальная высота подрыва снаряда, на которую рассчитан взрыватель, равна а, но фактически имеют место ошибки на высоте, распределенные по нормальному закону с параметром s = а/2 (систематической ошибки нет). Если взрыватель не сработает над землей, взрыва вообще не происходит. Найти вероятности следующих событий: А – при стрельбе одним снарядом точка разрыва окажется на высоте, превышающей 1.2а; В – при стрельбе тремя снарядами ни один снаряд не разорвется на высоте более чем 1.2а; С – хотя бы один из трех снарядов не разорвется; D – один из трех снарядов не разорвется, а два другие разорвутся.

30) Завод изготавливает шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков 5 мм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический его диаметр – случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением 5мм и средним квадратическим отклонением 0.05 мм. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинального больше чем на 0.1 мм. Определить, какой процент шариков в среднем будет отбраковываться.