Тема 7. Двумерные случайные величины

Теоретические сведения

Двумерной случайной величиной (x , h) называется совокупность (система) двух случайных величин. Геометрически ее можно интерпретировать как случайную точку на плоскости.

Функция распределения двумерной случайной величины: .

Свойства функции распределения:

1. ;

2. ;

3. , и – функции распределения случайных величин x и h соответственно;

4. – неубывающая функция х и у.

Вероятность попадания точки (x ,h) в прямоугольник R со сторонами, параллельными осям координат:

Плотность распределения двумерной случайной величины выражается через функцию распределения: .

Свойства плотности распределения:

1. ;

2. .

Вероятность попадания точки (x ,h) в произвольную область D:

Функция распределения двумерной случайной величины выражается через плотность:

.

Плотности распределения отдельных компонент:

;

Условные плотности распределения:

.

Для расчета начальных и центральныхмоментов используются формулы:

;

.

Ковариацияхарактеризует рассеяние и зависимость случайных величин: .

Коэффициенткорреляции:

. Всегда .

Упражнения

1) Два стрелка независимо один от другого производят по одному выстрелу, каждый по своей мишени. Случайная величина x – число попаданий первого стрелка, h – второго стрелка. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0.7, для второго – 0.8. Построить функцию распределения двумерной случайной величины (x , h).

2) По мишени производится один выстрел. Вероятность попадания равна 0.75. Рассматриваются две случайные величины: x – число попаданий; h – число промахов. Построить функцию распределения двумерной случайной величины (x , h).

3) Имеются две независимые случайные величины. x – распределена по показательному закону с параметром l, а h – по показательному закону с параметром m. Написать выражения для плотности распределения и функции распределения двумерной случайной величины (x , h).

4) Двумерная случайная величина (x , h) распределена с постоянной плотностью внутри квадрата со стороной 1. Написать выражение для плотности распределения . Построить функцию распределения . Написать выражения для плотностей компонент. Определить, являются ли случайные величины x и h независимыми или зависимыми.

5) Найти вероятность попадания случайной точки (x , h) в прямоугольник, ограниченный прямыми: , если известна функция распределения .

6) Найти плотность совместного распределения случайной величины (x, h) по известной функции распределения .

7) Найти функцию распределения случайной величины (x , h) по известной плотности совместного распределения: .

8) Двумерная случайная величина (x , h) задана плотностью совместного распределения: . Найти плотности распределения составляющих x и h. Показать, что x и h зависимые некоррелированные величины.

9) Двумерная случайная величина (x , h) задана плотностью совместного распределения: . Найти условные законы распределения составляющих x и h.