Действия над событиями
Над событиями можно производить различные действия, получая при этом другие события. Дадим определения этих действий.
Определение 2.13. Если при всяком испытании, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то событие А называется частным случаем события В.
Говорят также, что А влечет за собой В, и пишут: (А вложено в В) или (рис. 2.1). Например, пусть событие А состоит в появлении двух очков при бросании игральной кости, а событие В состоит в появлении четного числа очков при бросании игральной кости В = {2; 4; 6}. Тогда событии А есть частный случай события В, так как два — четное число. Можем записать .
Рис. 2.1. Событие А — частный случай события В
Определение 2.14. Если А влечет за собой В, а В влечет за собой А, то эти события равносильны, так как они вместе наступают или вместе не наступают. Из того, что и ( следует) А = В. Например, А — событие, состоящее в том, что на игральной кости выпала четная цифра меньше трех. Это событие равносильно событию В, состоящему в том, что на игральной кости выпала цифра 2.
Определение 2.15. Событие, состоящее в совместном наступлении обоих событий и А, и В, называется пересечением этих событий А∩В, или произведением этих событий АВ (рис. 2.2).
Рис. 2.2.Пересечение событий
Например, пусть событие А состоит в выпадении четного числа очков при бросании игральной кости, тогда его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 2-х, 4-х и 6-ти очков. А - {2; 4; 6}. Событие В состоит в выпадении числа очков больше трех при бросании игральной кости, тогда его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 4-х, 5-ти и 6-ти очков. В = {4; 5; 6}. Тогда пересечением или произведением событий А и В будет событие, состоящее в выпадении четного числа очков, большего трёх (выполняется и событие А, и событие В): А∩В =АВ= {4; 6}. Пересечением событий, одно из которых А — выпадение дамы из колоды карт, а другое В — выпадение трефы, будет трефовая дама. Примечание. Если два события А и В несовместны, то их совместное наступление невозможно АВ = 0.
Определение 2.16. Событие, состоящее в наступлении или события А, или события В (хотя бы одного из событий, по крайней мере одного из этих событий), называется их объединением А и В, или суммой событий А и В и обозначается через А+В (рис. 2.3).
Рис. 2.3.Объединение событий
Например, событие А состоит в выпадении четного числа очков при бросании игральной кости, тогда его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 2-х, 4-х и 6-ти очков, или А - {2; 4; 6}. Событие В состоит в выпадении числа очков больше трех при бросании игральной кости, тогда его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 4-х, 5-ти и 6-ти очков, или В = (4; 5; 6}. Тогда объединением, или суммой событий А и В будет событие, состоящее в выпадении хотя бы одного из них — либо четного числа очков, либо числа очков большего трёх (выполняется или событие А, или событие В): А ∩ В =А +В= {2; 4; 5; 6}. Определение 2.17. Событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называется противоположным событию А и обозначается через Ā (рис. 2.4).
Рис. 2.4.Противоположные события
Например, пусть событие А состоит в выпадении четного числа очков при бросании игральной кости, тогда его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 2-х,-4-х и 6-ти очков, или А = {2; 4; 6}. Тогда событие Ā состоит в выпадении нечетного числа очков, и его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 1-го, 3-х и 5-ти очков. Ā ={1;3;5}.
Определение 2.18. Событие (А и В) , состоящее в том, что А происходит, а не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается через А-В. Впрочем, можно обойтись без этого обозначения, так как из определения следует, что А - В - (рис. 2.5).
Рис. 2.5.Разность событий А и В
Например, пусть событие А состоит в выпадении четного числа очков при бросании игральной кости, тогда А = {2; 4; 6}. Событие В состоит в выпадении числа очков больше трех. В = {4; 5; 6}. Тогда — событие, состоящее в выпадении числа очков не больше трех, и его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 1-го, 2-х и 3-х очков. = {1; 2; 3}. Разностью событий А и В будет событие, состоящее в том, что выполняется событие А и не выполняется событие В. Его наступлению благоприятствует элементарное событие, состоящее в выпадении 2-х очков: А-В= А∩ = {2}. Определения суммы и произведения событий распространяются и на большее число событий: А + В + ... + N = (А или В, или ... или N) (2.1) есть событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А, В, ... N; АВ ... N = (А и В и... и N), (2.2) есть событие, состоящее в совместном наступлении всех событий А, В, ... N. Аналогично определяются сумма и произведение бесконечного числа событий А1, А2, ... Ап, ... Отметим, что все же некоторые правила алгебры сохраняются и для действий над событиями. Например, имеет место перёместительный закон (коммуникативность): А + В = В + А, АВ=ВА, (2.3) выполняется распределительный закон (дистрибутивность): (А +В) С = АС + ВС, (2.4) так как левая и правая части представляют событие, состоящее в том, что происходят событие С и по крайней мере одно из событий А и В. Справедлив также сочетательный закон (ассоциативность): А+(В + С) = (А+В)+ С = А+В + С; А(ВС) = (АВ)С = АВС. (2.5) Кроме того, имеют место и такие равенства, которые в обычной алгебре показались бы нелепыми. Например, для любых А, В, С: АА=А (2.6) А+А = А (2.7) А+АВ = А (2.8) АВ + С = (А+С)(В+С) (2.9) Противоположные события связаны: · законом двойного отрицания: = А; (2.10) · законом исключенного третьего А + = Ω. (сумма их есть достоверное событие); (2.11) · законом противоречия: А = Ø(произведение их невозможное событие). (2.12) Равенства (2.6)-(2.12) доказываются для высказываний в курсе дискретной математики. Предлагаем читателю проверить это самостоятельно, используя определения суммы и произведения событий. Если В = А1 + А2+... +Ап и события А попарно несовместимы, т.е. каждое несовместимо с остальными: АjАk = Ø при i≠k говорят, что событие В подразделяется на частные случаи А1, А 2, ..., Ап. Например, событие В, состоящее в выпадении нечетного числа очков, подразделяется на частные случаи Е1, Е3, Е5, состоящие соответственно в выпадении 1, 3 и 5 очков. Исходя из определения действий над событиями, мы можем дать более четкое определение полной группе событий.
Определение 2.19. Если А1 + А2+... +Ап = Ω, т.е. если хотя бы одно из событий А1 + А2+... +Ап непременно должно осуществиться и если при этом Аj попарно несовместимы (т.е. достоверное событие Ω подразделяется на частные случаи А1 + А2+... +Ап), то говорят, что события А1 + А2+... +Ап образуют полную группу событий. Таким образом, если А1 + А2+... +Ап — полная группа событий, то при каждом испытании обязательно происходит одно и только одно из событий А1 + А2+... +Ап.
Например, при бросании игральной кости полную группу событий составляют также события Е1, Е2, Е3, Е4, Е5 и Е6, состоящие соответственно в выпадении 1, 2, 3,4, 5 и 6 очков.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1594)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |