Глава 2. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

Лабораторная работа № 14

ЗАКОН ОМА ДЛЯ УЧАСТКА ЦЕПИ

Цель работы.Подтвердить закон Ома для участка цепи.

Введение

Нормальный металл, т.е. металл, обладающий электрическим сопротивлением, при помещении его в электрическое поле ведет себя иначе, чем диэлектрик. Металлы, в отличие от диэлектриков, как известно, проводят электрический ток. Носителями зарядов в металлах являются свободные электроны. В классической теории электропроводности металлов, металл, находящийся в кристаллическом состоянии, представляет ионный остов кристаллической решетки, внутри которого двигаются свободные электроны. В рамках такого представления о металле, можно оценить концентрацию свободных электронов в металле. Если предположить, что каждый атом отдает как минимум по одному электрону с внешней электронной оболочки в свободный электрон, и расстояния между атомами (период кристаллической структуры) a»0,5 нм, то объемная концентрация электронов проводимости:

.

Концентрация электронов проводимости в металле громадная. Поэтому, при помещении металла в электрическое поле, свободные электроны будут двигаться против направления напряженности электрического поля, и в металле, как говорят, потечет электрический ток.

Электрическим током называют упорядоченное движение заряженных частиц.

Силой тока, называют отношение заряда, прошедшего через проводник в единицу времени:

.

Сила тока измеряется в амперах. Сила тока в 1 А, это такая сила тока, при которой по проводнику проходит заряд в 1 Кл, за 1 с. Исторически сложилось так, что за направление силы тока принимают направление по вектору напряженности внешнего электрического поля, породившего ток. Т.е. от положительного полюса к отрицательному, и вектор силы тока рисуют от «плюса» к «минусу». Хотя истинное направление движения электронов от отрицательного полюса, к положительному, в силу того, что заряд электрона отрицательный.

Другой важной характеристикой является плотность тока. Плотностью тока называется отношение силы тока к площади поперечного сечения проводника:

.

Размерность плотности тока [j] – А/м², для удобства в технике, плотность тока измеряют в амперах на квадратный миллиметр. Вектор плотности направляют в направлении истинного движения заряженных частиц. Для проводников от «минуса» к «плюсу». Следует отметить, что протекающий по проводнику ток совершает работу, которая в силу закона сохранения энергии, выделяется в виде тепла. Поэтому, для каждого провода существует номинальная, максимальная и критическая плотности тока. Применительно к изолированным проводам: номинальная плотность тока, это такая плотность тока, при которой провод практически не нагревается; максимальная – плотность тока, при которой нагрев проводника не вызовет разрушение изоляции; а критическая – плотность тока, при которой разрушается изоляция или расплавляется проводник, если он не имеет изоляции или температура разрушения изоляции выше температуры плавления материала проводника. Данные о номинальной, максимальной и критической плотностях тока для конкретных проводов приводятся в электротехнических справочниках.

Рассмотрим цилиндрический проводник, помещенный в внешнее электрическое поле, изображенный на рис. 21.

S

+ –

Рис.21. Пояснение к выводу закона Ома и определению направлений

векторов силы и плотности тока

Несложно показать, что плотность тока в проводнике вычисляется по формуле:

,

(95)

где n – объемная концентрация электронов проводимости в металле, e – заряд электрона, <v> – средняя скорость электронов в направлении движения в внешнем электрическом поле, называемой скоростью дрейфа электронов. Средняя скорость электронов в направлении тока много меньше тепловой скорости движения электронов. Например, при критических плотностях тока в металлах (≈100 A/мм²) и температуре 20 ^oC в рамках классической физики, эти скорости равны:

.

Если предположить, что электрон в металле, двигаясь под действием внешнего электрического поля, рассеивается (теряет свою скорость) только на ионном остове кристалла и рассеяние абсолютно не упругое (электрон теряет свою дрейфовую скорость до нуля, тем самым, отдавая энергию в тепловые колебания кристалла), то можно говорить о длине свободного пробега электрона в металле (<l>) и о времени свободного пробега (<τ>). В идеальном кристалле эти величины должны быть одинаковы для всех электронов проводимости, а в реальных кристаллах, можно говорить о некоторых средних величинах длин и времени свободного пробега, поэтому и обозначаются они в угловых скобках.

В соответствии с вторым законом Ньютона и определением напряженности электрического поля, электрон в металле в направлении тока должен двигаться равноускоренно. Начинать движение из состояния покоя, достигнув максимальной дрейфовой скорости рассеиваться на ионном остове до нулевой скорости и снова повторять данный вид движения. Тогда, второй закон классической механики для электрона проводимости:

,

(96)

где m_e – масса электрона; a – ускорение электрона; e – заряд электрона; E – напряженность внешнего электрического поля.

Из уравнений кинематики равноускоренного движения:

.

(97)

Подставляя ускорение из (35) в (36) получаем:

.

(98)

Подстановка дрейфовой скорости электронов (37) в плотность тока (34) дает закон Ома в дифференциальной форме:

,

(99)

или

.

(100)

Получили, что плотность тока в проводнике пропорциональна напряженности электрического поля. Константу – называют удельной проводимостью проводника.

Не сложно из закона Ома в дифференциальной форме получить закон Ома в интегральной форме, или закон Ома для участка цепи. Напряжение на концах проводника, отнесенное к его длине будет по определению напряженностью электрического поля в проводнике. Подставив в (39) определение плотности тока:

.

Новую константу называют проводимостью проводника, а ей обратную величину – R – сопротивлением проводника, а константу – удельным сопротивлением материала.

В классической записи, закон Ома для участка цепи:

,

(101)

где I – сила тока в проводнике; U – напряжение на концах проводника; R – сопротивление проводника. Размерность сопротивления [R] – Ом, удельного сопротивления [ρ] – Ом∙м.

Удельное сопротивление материалов является главной электрической характеристикой проводника. Значения удельного сопротивления приведены в физических и электротехнических справочниках. Зная удельное сопротивление материала, можно рассчитать сопротивление проводника длиной l и площадью S:

.

Следует отметить, что закон Ома получен теоретически в рамках классической теории электропроводности металлов и в общем виде не выполняется на практике. Главным условием, для практической выполнимости закона Ома будет малая плотность тока в проводнике. Для металлов, закон Ома экспериментально подтверждается при плотностях тока порядка ампера на квадратный миллиметр. Вторым существенным недостатком классической теории электропроводности металлов является то, что она не может объяснить ряд экспериментальных фактов, в частности, зависимость сопротивления металлов от температуры.

Как было отмечено выше, удельное сопротивление металлов имеет порядок 10^–8 Ом∙м. Например: медь – ρ=17 нОм·м; алюминий – ρ=26 нОм·м; железо – ρ=98 нОм·м. В рамках классической теории электропроводности можно оценить электрические свойства проводника. Сделаем это для меди, занимающей второе место по проводимости после серебра.

Задачу поставим следующим образом: оценить среднее время свободного пробега, длину свободного пробега электронов проводимости для меди (Плотность меди D=8900 кг/м³; молярная масса – M_r=0,0635 кг/моль; удельное сопротивление – ρ=17 нОм·м, температура проводника – 20 ^оС).

Принимая, что медь отдает один электрон на элементарную ячейку на проводимость тока, оценим объемную концентрацию электронов проводимости:

.

Время свободного пробега:

.

Длина свободного пробега электрона:

.

Получается, что длина свободного пробега электронов проводимости порядка десяти межатомных расстояний. Экспериментальные значения оказываются на два или три порядка выше.