Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Однородные координаты и матрицы преобразований




Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Поскольку трёхмерная матрица поворота не несёт информации о поступательном перемещении и используемом масштабе, вектор координат р= (рx, рy, рz)T в трёхмерном пространстве дополняют четвёртой координатой (или компонентой) так, что он принимает вид: = (x, wрy, wрz, w)T. Тогда вектор выражен в однородных координатах.

Описание точек трёхмерного пространства однородными координатами позволяет ввести в рассмотрение матричные преобразования, содержащие одновременно поворот, параллельный перенос, изменение масштаба и преобразование перспективы.

В общем случае изображение N-мерного вектора размерностью N+1 называется представлением в однородных координатах. При таком представлении преобразование N-мерного вектора производится в (N+1)-мерном пространстве, а физический N-мерный вектор получается делением однородных координат на (N+1)-ю компоненту .

Так, вектор р = (рx, рy, рz)T положения в трёхмерном пространстве в однородных координатах представляется расширенным вектором (x, wрy, wрz, w)T.

Физические координаты связанны с однородными следующим образом:

рx = , рy= , рz= ,

где w – четвёртая компонента вектора однородных координат (масштабирующий множитель).



Если w = 1, то однородные координаты вектора положения совпадают с его физическими координатами.

Однородная матрица преобразования представляет собой матрицу размерностью 4´4, которая преобразует вектор, выраженный в однородных координатах, из одной системы отсчёта в другую.

Однородная матрица преобразования может быть разбита на четыре подматрицы:

Т = = . (4-1)

Верхняя левая подматриа размерностью 3×3 представляет собой матрицу поворота; верхняя правая подматрица размерностью 3×1 представляет собой вектор положения начала координат повернутой системы отсчета относительно абсолютной; Нижняя левая подматрица размерностью 1×3 задает преобразование перспективы; четвертый диагональный элемент является глобальным масштабирующим множителем. Однородная матрица преобразования позволяет выявить геометрическую связь между связанной системой отсчёта OUVW и абсолютной системой OXYZ.

Если вектор ртрехмерного пространства выражен в однородных координатах, т.е. , то, используя понятие матрицы преобразования можно сформировать однородную матрицу преобразования Тпов, задающую преобразование поворота и имеющую размерность 4×4. Однородная матрица поворота получается соответствующим расширением обычной матрицы поворота, имеющей размерность 3×3. Так, однородное представление для матриц (2-12) и (2-13) имеет следующий вид:

, ,

. (4-2)

Эти матрицы размерностью 4×4 называются однородными матрицами элементарных поворотов. Однородная матрица преобразования переводит вектор, заданый однородными координатами в системе отсчета OUVW, в абсолютную систему координат OXYZ, т.е. при :

(4-3)

и . (4-4)

 

 

Лекция 5




Читайте также:
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...
Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе...
Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1674)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.006 сек.)
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7