Задачи максимизации полезности
Задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум (22) при условии Для решения этой задачи на условный экстремум применим метод Лагранжа. Выписываем функцию Лагранжа , (23) где l - неопределенный множитель Лагранжа. Экономический смысл этого множителя: если цены pi и доход J меняются в одно и то же число раз l, то функция полезности, а значит, и решение задачи потребительского выбора не изменится. Далее находим ее первые частные производные по переменным x1, x2 и l, приравниваем эти частные производные к нулю: Исключив из полученной системы трех уравнений с тремя неизвестными неизвестную l (разделив поэлементно первое уравнение на второе), получим систему двух уравнений с двумя неизвестными x1 и x2: Решение этой системы есть критическая точка функции Лагранжа. Подставим решение в левую часть равенства . Получим, что в точке локального рыночного равновесия индивидуума отношение предельных полезностей и продуктов равно отношению рыночных цен p1 и p2 на эти продукты: . (24) В связи с тем, что отношение равно предельной норме замены первого продукта вторым в точке локального рыночного равновесия , из (24) следует, что эта предельная норма равна отношению рыночных цен на продукты. Приведенный результат играет важную роль в экономической теории. А именно, ; , (25) то есть отношение (со знаком минус) конечных (относительно небольших) изменений к объемов продуктов в локальном рыночном равновесии приближенно равно отношению рыночных цен p1 и p2 на продукты. Равенство (25) позволяет давать приближенные оценки отношению рыночных цен, если известны конечные изменения объемов продуктов относительно потребительского набора, приобретенного потребителем, то есть набора, который естественно следует толковать в качестве оптимального для потребителя. Пример 9. Найти аналитическое решение задачи максимизации индивидуальной функции полезности при наличии бюджетного ограничения , если и J=5. Решение. Известны: Требуется найти значения . I способ. Приведение функции к одной переменной 1. Из выразим x2: . 2. Подставим найденное значение x2 в целевую функцию . Получим функцию одного аргумента x1: . 3. Исследуем на экстремум: ; если ; ; . 4. . Ответ: , . II способ. Использование функции Лагранжа 1. Составим функцию Лагранжа: . 2. Найдем первые частные производные функции по переменным , приравняв их к нулю: 3. Разделим поэлементно первое уравнение на второе. Получим: , откуда следует или . 4. Используя третье равенство в последней системе уравнений, получим ; ; . 5. . Ответ: , .
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1847)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |