ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 13

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 13

По дисциплине: ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Наименование работы: ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

С ПОМОЩЬЮ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ.

 

 

Для специальности 230111, 230115.

 

Составлено преподавателем Калмыковой О.И.

 

г. Смоленск

2012 г.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 13

По дисциплине: ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ (2 курс)

Наименование работы: ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

С ПОМОЩЬЮ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ.

 

1. Цель работы:Приобретение навыков вычисления двойного интеграла в полярных координатах, перехода от прямоугольных координат х и y к полярным и φ.

2. Литература:

2.1. Богомолов Н.В. "Практические занятия по математике" гл.29 §4 М.: Высшая школа, 1990 г.

3. Подготовка к работе:

3.1. Изучить теоретический материал по теме “Вычисление двойных интегралов с помощью полярных координат ”.

3.2. Подготовить бланки отчета.

3.3. Подготовить ответы на вопросы допуска к работе:

3.3.1. Понятие функции двух переменных. Область определения функции двух переменных.

3.3.2. Понятие двойного интеграла.

3.3.3. Формула преобразования двойного интеграла от прямоугольных координат х и y к полярным ρ и φ.

3.3.4. Правило изменения порядка интегрирования в двойном интеграле.

4. Основное оборудование:

4.1. Литература, конспект.

5. Задание:

5.1. Перейти в двойном интеграле к полярным координатам и расставить пределы интегрирования.

5.2. Вычислить с помощью перехода к полярным координатам двойной интеграл по указанной области.

6. Порядок выполнения работы:

6.1. Записать задание своего варианта в отчет.

6.2. Выполнить вычисление двойного интеграла с помощью полярных координат.

6.3. Записать ответы, оформить отчет

6.4. Подготовить ответы на контрольные вопросы.

7. Содержание отчета:

7.1. Титульный лист.

7.2. Цель работы.

7.3. Результаты и ход выполнения работы.

7.4. Выводы, ответы.

8. Контрольные вопросы:

8.1. Понятие функции двух переменных. Область определения функции двух переменных.

8.2. Понятие двойного интеграла.

8.3. Формула преобразования двойного интеграла от прямоугольных координат х и y к полярным ρ и φ.

8.4. Правило изменения порядка интегрирования в двойном интеграле.

9. Приложение:

Вариант 1.	Вариант 2.
1). D – круг 2). D –1 четверть круга	1). D – полукруг 2). D – круговой сектор ,
Вариант 3.	Вариант 4.
1). D – круговой сектор 2). D – круговое кольцо	1). D – круговое кольцо 2). D – полукруг
Вариант 5.	Вариант 6.
1). D – круговое кольцо   2). D – круг	1). D – круг   2). D – круговой сектор
Вариант 7.	Вариант 8.
1). D – полукруг ,   2). , D – круг	1). D – круговой сектор , ,   2). D – кольцо ,

10. Методические указания.

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ.

Формула преобразования двойного интеграла от декартовых координат x и y к полярным координатам ρ и ψ, связанным с декартовыми соотношениями

 

X= ρ cos φ, y= ρ sin φ,

Имеет вид

∫_D∫f(ρcosφ,ρsinφ) ρ d p dφ, (1)

Где ρ и φ – полярные координаты точек области D.

 

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах сводится к вычислению повторных интегралов по ρ и по φ в зависимости от характера области D.

ρ = ρ₂(φ)

D

ρ = ρ₁(φ)

 

0 ρ= ρ(φ)

 

 

1.Если область D ограничена лучами, образующими с полярной осью углы φ₁ и φ₂, и кривыми ρ= ρ₁(φ) и ρ= ρ₂(φ) ( где φ₁< φ₂, ρ₁< ρ₂), то

 

(2)

2. Если область D ограничена линией ρ= ρ(φ) и начало координат лежит внутри области, то

(3)

Если же область интегрирования не удовлетворяет указанным условиям, то для вычислений двойного интеграла с помощью однократных интегрирований по ρ и по φ надо предварительно разбить область на части, обладающие отмеченными выше свойствами.

Пример:

Вычислить двойной интеграл

 

где область D – кольцо, ограниченное окружностями x² +у² =1, х²+у²=4.

Решение. Уравнения окружностей х²+у²=1 и х²+у²=4 в полярных координатах соответственно имеют вид ρ=1 и ρ=2, причем полярный угол φ изменяется в пределах от 0 до 2π; подынтегральная функция √4 – х² – у² в полярных координатах запишется в виде √4 – ρ² . Следовательно, по формуле (1) имеем

 

(так как интегралы, составляющие двукратный интеграл, не зависят друг от друга, то последний равен произведению этих интегралов).