Методы интегрирования

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7

По дисциплине: ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Наименование работы: ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАМЕНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ПО ЧАСТЯМ В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ.

 

 

Для специальности 230111, 230115.

 

Составлено преподавателем Калмыковой О.И.

 

 

г. Смоленск

2012 г.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7

По дисциплине: ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ(2 курс)

Наименование работы: ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАМЕНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ПО ЧАСТЯМ В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ.

 

1. Цель работы:Приобретение навыков интегрирования заменой переменной и по частям в определенном интеграле.

2. Литература:

2.1. В.А. Подольский, А.М. Суходольский "Сборник задач по математике" гл.11 §1-7 М.: Высшая школа, 1978 г.

2.2. Г.М. Гусак, Д.А. Капуцкая “Математика для подготовительных курсов” гл.10 §4-6 Минск: Высшая школа, 1989 г.

3. Подготовка к работе:

3.1. Изучить теоретический материал по теме: «Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле».

3.2. Подготовить бланк отчета по практической работе.

3.3. Подготовить ответы на вопросы допуска к работе:

3.3.1. Понятие первообразной.

3.3.2. Понятие неопределенного интеграла.

3.3.3. Свойства неопределенного интеграла.

3.3.4. Формула интегрирования заменой переменной.

3.3.5. Формула интегрирования по частям.

4. Основное оборудование:

4.1. Литература, конспект.

5. Задание:

5.1. Вычислить неопределенные интегралы.

6. Порядок выполнения работы:

6.1. Записать задание своего варианта в отчет.

6.2. Выполнить интегрирование функции заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле.

6.3. Записать ответы, оформить отчет.

6.4. Подготовить ответы на контрольные вопросы.

7. Содержание отчета:

7.1. Титульный лист.

7.2. Цель работы.

7.3. Результаты и ход выполнения работы.

7.4. Выводы, ответы.

8. Контрольные вопросы:

8.1. Понятие первообразной.

8.2. Понятие неопределенного интеграла.

8.3. Свойства неопределенного интеграла.

8.4. Формула интегрирования заменой переменной.

8.5. Формула интегрирования по частям.

9. Приложение:

9.1. Задания:

 

Вариант 1

1. ; 3. ; 5. .

2. ; 4. ;

 

 

Вариант 2

1. ; 3. ; 5. .

2. ; 4. ;

Вариант 3

1. ; 3. ; 5. .

2. ; 4. ;

Вариант 4

1. ; 3. ; 5. .

2. ; 4. ;

Вариант 5

1. ; 3. ; 5. .

2. ; 4. ;

Вариант 6

1. ; 3. ; 5. .

2. ; 4. ;

 

Вариант 7

1. ; 3. ; 5. .

2. ; 4. ;

Вариант 8

1. ; 3. ; 5. .

2. ; 4. ;

 

Методические указания.

Отыскание функции F(x) по известному дифференциалу dF(x)=f(x)dx (или по известной ее производной F'(x)=f(x)) т.е. действие обратное дифференцированию, называются интегрированием, а искомая функция F(x) называется первообразной функцией от функции f(x).

Совокупность всех первообразных F(x)+C от функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции:

Основные формулы интегрирования.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Методы интегрирования.

1. Непосредственное интегрирование.

Найти интеграл:

Решение: Интегрируя каждое слагаемое отдельно, получим:

1. Интегрирование посредствам замены переменной.

Для нахождения интеграла можно заменить переменную x новой переменной t, связанной с x подходящей функцией . Определив из этой формулы и подставляя, получим

Если интеграл с новой переменной интегрирования t будет найден, то преобразовав результат к переменной x, пользуясь исходной функцией , получим искомое выражение заданного интеграла.

Найти интеграл: .

Решение: Положим t=1+2cosx. Тогда td=-2sinxdx.

1. Интегрирование по частям.

Из формулы дифференциала произведения d(uv)=udv+vdu интегрированием обеих частей равенства получается формула интегрирования по частям:

.

Найти интеграл .

Решение. Пусть u=lnx, . Тогда

 

Интегрируя обе части равенства d(uv) = udv+vdu, получим

откуда

С помощью этой формулы вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла ,если последний окажется проще исходного.

Пример.1 Найти следующий интеграл:

Решение. Положим , dv=dx; тогда v=x. По формуле получим

В числителе подынтегральной функции последнего интеграла прибавим и представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов: