Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Неопределённый интеграл



2015-12-07 281 Обсуждений (0)
Неопределённый интеграл 0.00 из 5.00 0 оценок




Отыскание функции F(x) по известному дифференциалу dF(x)=f(x)dx (или по известной ее производной F'(x)=f(x)) т.е. действие обратное дифференцированию, называются интегрированием, а искомая функция F(x) называется первообразной функцией от функции f(x).

Определение: Совокупность всех первообразных F(x)+C от функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции:

 

Основные формулы интегрирования.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Рассмотрим три основных метода интегрирования.

 

Непосредственное интегрирование.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

 

Способ подстановки (замены переменных).

 

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

 

Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f(x)dx = f[j(t)]j¢(t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

 

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

 

Пример.

Замена Получаем:

 

Пример.

 



2015-12-07 281 Обсуждений (0)
Неопределённый интеграл 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: Неопределённый интеграл

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас...
Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы...
Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (281)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.008 сек.)