Неопределённый интеграл
Отыскание функции F(x) по известному дифференциалу dF(x)=f(x)dx (или по известной ее производной F'(x)=f(x)) т.е. действие обратное дифференцированию, называются интегрированием, а искомая функция F(x) называется первообразной функцией от функции f(x). Определение: Совокупность всех первообразных F(x)+C от функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции:
Основные формулы интегрирования. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Рассмотрим три основных метода интегрирования.
Непосредственное интегрирование. Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования. Рассмотрим применение этого метода на примере: Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод: Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных. Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.
Способ подстановки (замены переменных).
Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:
Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство: По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла: f(x)dx = f[j(t)]j¢(t)dt что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.
Пример. Найти неопределенный интеграл . Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.
Пример. Замена Получаем:
Пример.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (281)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |