Асимптоты графика функции
Исследование функции с помощью производной. Теорема 1. Условие монотонности ф-ции. Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a,b) y=f(x) возрастала (убывала) н. и д. f’(x)>0 (f’(x)<0) для всех xc(a,b). Док-во. Достаточность. f’(x)>0, д-ть ↑ на (a,b). f(x) ↑ на (с1,с2), если x1<x2, f(x1)<f(x2). f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2<x1) >0.
Исследование функции с помощью второй производной. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба. Пусть y=f(x) имеет на (a,b) y’’=f’’(x). y=f(x) выпуклая на (a,b), если график ф-ции расположен ниже любой ее касательной на этом интервале. А если график расположен выше, то ф-ция вогнута. Теорема 1. Достаточный признак выпуклости (вогнутости). Если f’’(x)<0, xc(a,b) ф-ция выпукла. А если f’’(x)>0, то ф-ция вогнута. Т. x0c(a,b) назыв. точкой перегиба y=f(x), если при переходе аргумента х через эту точку вторая производная y’’=f’’(x) меняет знак (меняет направление выпуклости или вогнутости). Теорема 2. Необходимое условие перегиба. Пусть x0c(a,b) есть точка перегиба y=f(x). Тогда, если в этой т. ф-ция имеет вторую производную, то она обязательно=0. Корни ур-ния f’’(x)=0 назыв. точками, подозрительными на перегиб. Также такими точками явл. точки, в кот. производная не сущ. Все они назыв. критическими точками 2-ого рода. Теорема 3. Достаточное условие перегиба. Если f’’(x)=0, т.е. х0 – крит.т. 2-ого рода и при переходе т. х0 f’’(x) меняет знак, то т. х0 явл. т.перегиба ф-ции y=f(x). Замечание. Точками, подозрительными на перегиб, могут быть точки, в кот. f’’(x) не сущ.
Локальный экстремум. Необходимое условие экстремума. Если y=f(x) имеет в т. х0 лок.экстремум, то f’(x)=0 или не сущ. Эти все точки явл. критическими точками. Достаточное условие экстремума. Если при переходе аргумента х через эту точку слева направо у’ меняет знак с + на -, то х0 – т. лок. max. Если при переходе аргумента х через крит. точку слева направо у’ меняет знак с - на +, то х0 – т. лок. min. Если f’’(x0)<0,то функция имеет локальный максимум; если f’’(x0)>0, - локальный минимум; если f’’(x0)=0, точка x=x0 может и не быть экстремальной.
Асимптоты графика функции. Прямая y=kx+b наз. асимптотой кривой y=f(x), если расстояние от точки М на графике до прямой при неограниченном удалении графика от начала координат стремится к нулю. Если существуют числа, при которых , т. е. функция имеет бесконечные разрывы, то прямые наз. вертикальными асимптотами кривой y=f(x). Если существуют пределы , b= (конечные), то прямые y=kx+b – наклонные асимптоты кривой (при k=0 горизонтальные). Если ф-цию можно представить в виде y=kx+b+α(х), где α(х) при х +∞(-∞) наклонная асимптота.
5. Общая схема построения графика с полным исследованием функции. 1) найти ОДЗ; 2) исследовать на четность (нечетность) функцию; 3) исследовать на непрерывность, установить характер точек разрыва функции, и определить асимптоты; 4) исследовать функцию на монотонность и экстремум с помощью первой производной; 5) исследовать на вогнутость (выпуклость) и найти точки перегиба 6) найти пересечение графика ф-ции с осями координат; 7) произвести необходимые дополнительные вычисления; 8) построить график функции.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (524)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |