Семейство программ MinSort

Рассмотрим новую стратегию сортировки трех символов при помощи меньшего количества операторов WRITE. Найдем минимальный символ среди Ch1, Ch2, Ch3, выведем его, позаботившись о том, чтобы оставшиеся символы находились в Ch1 и Ch2. Это уменьшит сложность первоначальной задачи, поскольку отсортировать нам надо всего 2 символа. Если минимум находится в переменной, отличной от Ch3, то значение переменной Ch3 должно быть помещено в переменную, значение которой мы выведем.

После предварительного анализа получается следующий проект:

 

Design Part 3

PROGRAM MinSort3 (INPUT,OUTPUT);

{сортирует 3-строку из INPUT в OUTPUT }

VAR

Ch1, Ch2, Ch3: CHAR;

BEGIN {MinSort3 }

READ(Ch1, Ch2, Ch3);

WRITELN('Входные данные ', Ch1, Ch2, Ch3);

WRITE('Сортированные данные ');

{Печатать минимум в OUTPUT, сохранить содержимое в Ch1 and Ch2 };

{ Сортировать Ch1, Ch2 в OUTPUT };

WRITELN

END.{Minsort3}

 

Design Part 3.1

BEGIN {Печатать минимум в OUTPUT, сохранить содержимое в Ch1 and Ch2 };

IF Ch1 < Ch2

THEN

{ Печатать минимум из Ch1, Ch3 в OUTPUT,

переместить Ch3 в Ch1,если необходимо}

IF Ch1 < Ch3

THEN

BEGIN

WRITE(Ch1);

Ch1 := Ch3

END

ELSE

WRITE(Ch3)

ELSE

{ Печатать минимум из Ch2, Ch3 в OUTPUT,

переместить Ch3 в Ch2,если необходимо}

IF Ch2 < Ch3

THEN

BEGIN

WRITE(Ch2);

Ch2 := Ch3

END

ELSE

WRITE(Ch3)

END

 

Раздел проекта 3.1 длиной 25 строк нарушает правило размера в 5-15 строк, но оно имеет очень простую структуру, а комментарии комментируют код во всех частях проекта.

 

Design part 3.2

 

BEGIN {Сортируем Ch1, Ch2 в OUTPUT }

IF Ch1 < Ch2

THEN

WRITE(Ch1, Ch2)

ELSE

WRITE(Ch2, Ch1)

END

 

После сборки разработочной программы Minsort3 будет иметь 6 операторов WRITE, как и IFSort3. На что же будет похода процедура MinSort4? Нам нужно только поменять раздел проекта 3, для того чтобы включить в него дополнительную переменную Ch3. Новый раздел проекта потребуется для нахождения минимального значения из Ch1, Ch2, Ch3, Ch4. Затем разделы проекта 3.1 и 3.1.1 могут быть повторно использованы для того, чтобы оставить оставшиеся символы в Ch1, Ch2 и Ch3. Т.е. Minsort4 просто записывает минимум и уменьшает сложности до уровня MinSort3.

Для того, чтобы найти минимум из 4-х переменных, потребуется оператор IF вложенностью как минимум 3 уровня в глубину, потому что минимальное значение должно предшествовать или быть равно трем другим переменным. Фактичести, 3 уровня вложенности достаточны, поскольку условия операторов IF могут быть организованы в таблице:

 

Сравнения для поиска минимума из четырех переменных
Условие	Минимум
Ch1 < Ch2
Ch1 < Ch3
Ch1 < Ch4	Ch1
Ch4 <= Ch1	Ch4
Ch3 <= Ch1
Ch3 < Ch4	Ch3
Ch4 <= Ch3	Ch4
Ch2 <= Ch1
Ch2 < Ch3
Ch2 < Ch4	Ch2
Ch4 <= Ch2	Ch4
Ch3 <= Ch2
Ch3 < Ch4	Ch4
Ch4 <= Ch3	Ch4

 

Трехуровневой оператор IF потребует 8 операторов Write, поэтому количество операторов Write в программе MinSort4 будет 8 + 4 + 2 = 14, по сравнению с 4 * 3 * 2 * 1 = 24 для программы IFSort4.

 

Таблица ниже показывает количество операторов Write в двух семействах программ:

2 + 4 + 8 + 16 + … + 2^^N-1 (MinSortN)

2 * 3 * 4 * 5 * … * N (IFSortN)

 

Количество операторов Write
N	IFSortN	MinSortN
	5 040
	40 320
	362 880
	3 628 800	1 022

 

Как видите, изменения проекта может привести к уменьшению размера программ. Однако даже программы MinSort растут довольно быстро.

Программы семейства MinSort были открыты с использованием другой стратегии проектирования:

Для решения одной задачи семейства, подумайте о способе решения меньших задач.

Подход IFSort трансформирует решения для меньших задач семейства в решения для более сложных задач, а программа MinSort – напротив, идет в противоположном направлении.

 

Анализируя эти простые стратегии сортировки, мы приходим к двум принципам проектирования программ:

1. Тщательно поразмышляйте о проекте, который может привести к программе меньшего размера.
2. Хорошая стратегия проектирования – это решение задачи путем уменьшения ее до более простого случая.

 

Булева логика.

 

Булева логика обеспечивает формальный и систематический метод рассуждения об условиях в операторах IF. Этот метод упрощает анализ поведения рограмм.

 

Новые положения: значения истинности, булевы значения, булевы оперторы NOT, AND, OR, булевы выражения, таблицы истинности, Булевые тождества.

 

Операторы IF и WHILE служат для условного выполнения в зависимости от результате <условия> во время выполнения.

 

IF Ch1 <> Ch2

THEN

WRITE(Ch1)

ELSE

WRITE(Ch2)

 

Такое условие имеет только два возможных результата – оно либо выполняется, либо нет. Условия, с двумя возможными результатами называются Булевыми условиями (Джордж Буль, 1815 – 1864, впервые систематически исследовал этот предмет). Результаты называются значениями истинности (truth values) или Булевыми значениями, с именами TRUE и FALSE. Это значения, принимаемые <условием> в операторах IF или WHILE, в то время как символьные переменные принимают символьные значения. Например, после следующих операторов присвоения:

 

Ch1 := ‘A’;

Ch2 := ‘С’

 

Булевы значения будут

 

<Условие>	Булево значение
Ch1 < Ch2	TRUE
Ch1 >= Ch2	FALSE
Ch1 <= Ch2	TRUE
Ch1 = B	FALSE
Ch2 = ‘C’	TRUE
‘X’ = ‘Y’	FALSE

 

Условия и утверждения

В операторе IF могут быть даны следующие комментарии состояния:

 

IF Ch1 <> Ch2

THEN {Ch1 < Ch2}

WRITE(Ch1)

ELSE {Ch1 >= Ch2}

WRITE(Ch2)

 

<Условие> Ch1 <> Ch2 в первой строке может принимать значение TRUE либо значение FALSE. Однако комментарий состояния в операторе THEN {Ch1 < Ch2} на следующей строке может быть утверждением того, что условие должно быть равно TRUE на входе в часть THEN оператора IF. Основа для этого утверждения в том, как выполняется оператор IF Паскаль-машиной. Т.е. не важно, что произошло раньше, не важно, какие значения переменных Ch1 и Ch2 могут быть на входе в часть THEN, значения условия Ch1 < Ch2 ДОЛЖНО быть равно TRUE.

 

Булевы операторы.

Оператор NOT

Ранее упомянутый оператор IF иллюстрирует о том как рассуждать о состоянии значений переменных в программе. Комментарии состояния в части THEN утверждают, что значение Ch1 < Ch2 – это TRUE. Комментарий ELSE отражает наше знание о том, что оператор >= является противоположным оператору <, а FALSE задается как противоположность TRUE. Поэтому, значение Ch2 >= Ch2 является иитинным (TRUE) в то время как значение Ch1 < Ch2 является ложью (FALSE) и наоборот. Булевый оператор NOT меняет значение остинности на противоположное:

 

NOT(TRUE) = FALSE

NOT(FALSE) = TRUE

 

NOT – это унарный (применяющийся к одному операнду), префиксный (предшествующий операнду) оператор.

 

Поскольку

NOT(NOT(FALSE)) = NOT(TRUE) = FALSE

NOT(NOT(TRUE)) = NOT(FALSE) = TRUE

И это единственные возможные варианты, то

NOT(NOT(P)) = P для любого Булева значения P.

 

Оператор AND

 

Рассмотрим вложенный оператор IF с комментариями состояния:

 

IF Ch1 < Ch2

THEN { Ch1 < Ch2 }

IF Ch2 < Ch3

THEN { Ch1 < Ch2 < Ch3 }

WRITE(Ch1)

ELSE { Ch1 < Ch2, Ch3 <= Ch2 }

IF Ch1 < Ch3

THEN { Ch1 < Ch3 <= Ch2 }

WRITE(Ch1_

ELSE { Ch3 <= Ch1 < Ch2 }

WRITE(Ch3)

 

Комментарий состояния

{Ch1 < Ch2 < Ch3}

выражает два утверждения о том, что значение Ch1 преджествует Ch2 и значение Ch2 предшествует Ch3. Булевый оператор AND захватывает это интуитивное значение. AND – это бинарный (два операнда) инфиксный (расположенный между своими операндами) оператор, который принимает значение TRUE, если значения обоих Булевых операндов являются истинными (TRUE). Во всех остальных случаях он принимает значение FALSE.

 

TRUE AND TRUE = TRUE

TRUE AND FALSE = FALSE

FALSE AND TRUE = FALSE

FALSE AND FALSE = FALSE

 

Операции сравнения могут обычно объединяться с оператором AND. Когда одинаковые операнды встречаются в объединенном условии, чаще получается более простое условие с тем же самым значением истинности. Например:

 

Сравнение, объединенное при помощи AND:	Более простое эквивалентное сравнение
Ch1 <= Ch2	Ch1 >= Ch2	Ch1 = Ch2
Ch1 <= Ch2	Ch1 < Ch2	Ch1 < Ch2
Ch1 < Ch2	Ch1 > Ch2	FALSE

 

 

Более простое сравнение является эквивалентным, поскольку AND требует выполнения обоих объединенных сравнения, включая возможность их противоречия. Во втором случае, эквивалентность операндов не может быть произойти в Ch1<=Ch2, поскольку Ch1 < Ch2 это запрещает.

 

Оператор OR

В предыдущем операторе IF есть 2 случая, когда оператор WRITE может быть достигнут. Значение Ch1 < Ch2 должно быть TRUE и одно либо оба значения Ch2 < Ch3, Ch1 < Ch3 должны быть TRUE.

Булевый оператор OR – это бинарный инфиксный оператор:

 

TRUE OR TRUE = TRUE

TRUE OR FALSE = TRUE

FALSE OR TRUE = TRUE

FALSE OR FALSE = FALSE

 

 

Вот несколько полезных комбинаций использования OR

 

Сравнение, объединенное при помощи OR:	Более простое эквивалентное сравнение
Ch1 < Ch2	Ch1 > Ch2	Ch1 <> Ch2
Ch1 <= Ch2	Ch1 < Ch2	Ch1 <= Ch2
Ch1 <= Ch2	Ch1 => Ch2	TRUE

 

Таблицы истинности для булевых операторов.

 

 

P	Q	NOT P	P AND Q	P OR Q
T	T	F	T	T
T	F	F	F	T
F	T	T	F	T
F	F	T	F	F

 

 

Булевы выражения.

Булеы операторы и операнды могут быть объединены при помощи скобок в Булевы выражения. Любое такое выражение, внутренние операнды которого являются булевыми значениями могут быть преобразованы в одно значение истинности при помощи таблицы истинности. Например, используя T и F в качестве значений истинности.

 

T or ((NOT F) AND F) = T

 

Результат может быть получен за один шаг путем повторного нахождения внутреннего выражения, заключенного в скобки и замены его значением из таблицы истинности:

 

Выражение	Шаг уменьшения	Причина
T OR ((NOT F) AND F)	(NOT F) = T	NOT.3
T OR (T AND F)	(T AND F) = F	AND.2
T OR F	(T OR F) = T	OR.2
T

 

Булевы тождества.

 

Уравнение между двумя булевыми выражениями, которое не зависит от того, какие значения принимают соответствующие операнды, вроде

NOT(NOT P) = P называется булевым тождеством.

 

15 полезных булевых тождеств показаны ниже:

 

1. TRUE AND P = P
2. TRUE OR P = TRUE
3. FALSE AND P = FALSE
4. FALSE OR P = P
5. NOT(NOT P) = p
6. P AND (NOT P) = FALSE
7. P OR (NOT P) = TRUE
8. P OR Q = Q OR P
9. P AND Q = Q AND P
10. P OR (Q OR R) = (P OR Q) OR R
11. P AND (Q AND R) = (P AND Q) AND R
12. P OR (Q AND R) = (P OR Q) AND (P OR R)
13. P AND (Q OR R) = (P AND Q) OR (P AND R)
14. NOT(P OR Q) = (NOT P) AND (NOT Q)
15. NOT(P AND Q) = (NOT P) OR (NOT Q)

 

Доказательства булевых тождеств могут быть организованы в таблицах, в которых перечислены все комбинации булевых значений операндов, и каждая часть тождества эквивалентна по базовым таблицам истинности, затем скомбинированы для того, чтобы найти значение левой и правой части. Если эти значения равны во всех случаях, то тождество считается доказанным.

 

Например:

 

1. TRUE AND P = P

 

P	Left	Right
T	T	T
F	F	F

 

9. P OR Q = Q OR P

 

P	Q	Left	Right
T	T	T	T
T	F	T	T
F	T	T	T
F	F	F	F