Системы линейных уравнений. Совместимость. Определенность. Равносильность. Формулы Крамера решения системы линейных уравнений

Определители матриц и их свойства.

Определителем (детерминантом) 2го порядка матрицы А называется выражение (число), обозначаемое det A и определяемое равенством: произведение элементов главное диагонали - произведение элементов побочной диагонали матрицы.

Определителем 3го порядка матрицы А называется выражение (число): правило треугольника(сложение произведений главной диагонали и треугольников и вычитание произведений побочной диагонали и треугольников).

Свойства:

1) Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е. для каждой квадратной матрицы А detА = det А^Т.

2) При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак.

3) Определитель с 2мя одинаковыми строками (столбцами) равен 0.

4) Общий множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя. Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на одно и то же число К, то значение определителя изменится в К раз. Чтобы умножить определитель на число, нужно какую-либо строку (столбец) определителя умножить на это число.

5) Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны 0, то определитель равен 0.

6) Если каждый элемент какой-нибудь строки (столбца) определителя состоит из суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей, причем в одном из них соответствующая строка (столбец) состоит из первых слагаемых, а в другом - из вторых слагаемых.

7) Определитель, у которого соответственные элементы 2х строк (столбцов) пропорциональны, равен 0.

8) Определитель не изменится от прибавления ко всем элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца.

Минором М_ij элемента a_ij квадратной матрицы А называется определитель матрицы, полученный из матрицы А путем удаления i-той строки и j-ого столбца.

Алгебраическим дополнением А_ijэлемента а_ij называется выражение: А_ij = (-1)^i+j * M_ij.

Определитель n-ого порядка квадратной матрицы А равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Определитель n-ого порядка можно разложить также по любому столбцу: det A = a_1jA_1j + a_2jA_2j + ...+ a_njA_nj, где j=1,2,K,..,n.

Матрицы. Линейные операции с матрицами и их свойства.

Матрицейназывается таблица, состоящая из mxn элементов некоторого множества, расположенных в m строках и n столбцах. Матрица, элементами которой являются числа, называется числовой матрицей.

Обозначение: А_mxn. Если m=n, то матрица называется квадратной, число n - ее порядок. Главная, побочная диагональ.

Операции: сложение матриц, умножение матриц на число. Две матрицы одного и того же размера называются равными, если их соответствующие элементы равны.

Суммой двух матриц А и В одного и того же размера называется матрица С, обозначаемая как С=А+В.

Свойства сумм матриц: 1) А+В=В+А 2) (А+В)+С=А+(В+С) 3) А+0=0+А=А

Произведением матрицы А на число К называется матрица В = К*А того же размера, что и матрица А, Элементы которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы А на число К.

Свойства произведения матрицы на число: 1) если К=0, то получаем нуль матрицу 0*А=0 2) если К=1, то 1*А=А 3) К*(А+В)=К*А + К*В 4) С*(К*А)=(С*К)*А=К*(С*А) 5) (С+К)*А=С*А+К*А 6) А-В=А+(-1)*В

Произведением матрицы А на В называется матрица С=А*В, у которой число строк К равно числу строк матрицы А, а число столбцов M равно числу столбцов матрицы В.

Свойства произведений матриц: 1) К(АВ)=КА(В)=А(КВ) 2) А(ВС)=(АВ)С 3) А(В+С)=АВ+АС 4) (А+В)С=АС+ВС

Обратная матрица. Определение. Формулы для нахождения ее элементов.

Системы линейных уравнений. Совместимость. Определенность. Равносильность. Формулы Крамера решения системы линейных уравнений.